numpy.gradient#
- numpy.gradient(f, *varargs, axis=None, edge_order=1)[源代码]#
返回 N 维数组的梯度。
梯度计算在内部点使用二阶精确中心差分，在边界处使用一阶或二阶精确的单侧（前向或后向）差分。因此，返回的梯度与输入数组具有相同的形状。
- 参数:
- f类数组
一个包含标量函数样本的 N 维数组。
- varargs标量或数组列表，可选
f 值之间的间距。所有维度默认为单位间距。间距可以通过以下方式指定：
单个标量，用于指定所有维度的采样距离。
N 个标量，用于指定每个维度的恒定采样距离。例如 dx, dy, dz, …
N 个数组，用于指定 F 沿每个维度的值的坐标。数组的长度必须与相应维度的大小匹配。
N 个标量/数组的任意组合，具有 2. 和 3. 的含义。
如果指定了 axis，则 `varargs` 的数量必须等于 `axis` 参数中指定的轴数。默认值：1。（参见下面的示例）。
- edge_order{1, 2}，可选
在边界处使用 N 阶精确差分计算梯度。默认值：1。
- axisNone 或 int 或 int 元组，可选
仅沿给定轴计算梯度。默认值（`axis = None`）是计算输入数组所有轴的梯度。`axis` 可以为负，此时它从最后一个轴向前计数。
- 返回:
- gradientndarray 或 ndarray 元组
一个 `ndarray` 元组（如果只有一个维度则为单个 `ndarray`），对应于 f 相对于每个维度的导数。每个导数都与 f 具有相同的形状。
注释
假设 \(f\in C^{3}\)（即 \(f\) 至少有 3 个连续导数），且 \(h_{*}\) 是一个非均匀步长，我们最小化真实梯度与其通过相邻网格点线性组合估计值之间的“一致性误差” \(\eta_{i}\)。
\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]通过用泰勒级数展开式替换 \(f(x_{i} + h_{d})\) 和 \(f(x_{i} - h_{s})\)，这转化为求解以下线性系统：
\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]\(f_{i}^{(1)}\) 的结果近似值如下：
\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]值得注意的是，如果 \(h_{s}=h_{d}\)（即数据均匀分布），我们得到标准的二阶近似：
\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]采用类似的过程，可以推导出用于边界的前向/后向近似。
参考文献
[1]Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2007) Numerical Mathematics (Texts in Applied Mathematics). New York: Springer.
[2]Durran D. R. (1999) Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. New York: Springer.
[3]Fornberg B. (1988) Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids, Mathematics of Computation 51, no. 184 : 699-706. PDF。
示例
>>> import numpy as np >>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16]) >>> np.gradient(f) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ]) >>> np.gradient(f, 2) array([0.5 , 0.75, 1.25, 1.75, 2.25, 2.5 ])
间距也可以通过一个数组来指定，该数组表示 F 沿维度值的坐标。例如，均匀间距：
>>> x = np.arange(f.size) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
或非均匀间距：
>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.]) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 3. , 3.5, 6.7, 6.9, 2.5])
对于二维数组，返回将是按轴顺序排列的两个数组。在此示例中，第一个数组表示行方向的梯度，第二个数组表示列方向的梯度。
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]])) (array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ], [1. , 1. , 1. ]]))
在此示例中，还指定了间距：`axis=0` 均匀，`axis=1` 非均匀。
>>> dx = 2. >>> y = [1., 1.5, 3.5] >>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), dx, y) (array([[ 1. , 1. , -0.5], [ 1. , 1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ], [2. , 1.7, 0.5]]))
可以使用 edge_order 指定边界的处理方式。
>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) >>> f = x**2 >>> np.gradient(f, edge_order=1) array([1., 2., 4., 6., 7.]) >>> np.gradient(f, edge_order=2) array([0., 2., 4., 6., 8.])
axis 关键字可用于指定计算梯度的轴子集。
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), axis=0) array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]])
varargs 参数定义了输入数组中采样点之间的间距。它可以采用两种形式：
一个数组，指定坐标，这些坐标可能不均匀分布。
>>> x = np.array([0., 2., 3., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, x, edge_order=2) array([ 0., 4., 6., 12., 16.])
一个标量，表示固定的采样距离。
>>> dx = 2 >>> x = np.array([0., 2., 4., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, dx, edge_order=2) array([ 0., 4., 8., 12., 16.])
可以为沿每个维度的间距提供不同的数据。参数的数量必须与输入数据的维度数量匹配。
>>> dx = 2 >>> dy = 3 >>> x = np.arange(0, 6, dx) >>> y = np.arange(0, 9, dy) >>> xs, ys = np.meshgrid(x, y) >>> zs = xs + 2 * ys >>> np.gradient(zs, dy, dx) # Passing two scalars (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))
混合标量和数组也是允许的。
>>> np.gradient(zs, y, dx) # Passing one array and one scalar (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))