离散傅里叶变换#
SciPy 模块 scipy.fft 是 numpy.fft 的一个更全面的超集，后者仅包含一组基本的例程。
标准 FFT#
实数 FFT#
厄米特 FFT#
辅助例程#
背景信息#
傅里叶分析本质上是一种将函数表示为周期分量之和，并从这些分量中恢复函数的方法。当函数及其傅里叶变换都被离散化时，它被称为离散傅里叶变换 (DFT)。DFT 之所以成为数值计算的重要组成部分，部分原因在于其计算有一个非常快速的算法，称为快速傅里叶变换 (FFT)，该算法为高斯 (Gauss, 1805) 所知，并由 Cooley 和 Tukey [CT] 以其当前形式呈现。Press 等人 [NR] 提供了傅里叶分析及其应用的易懂介绍。
由于离散傅里叶变换将其输入分解为在离散频率处贡献的分量，因此它在数字信号处理中具有广泛的应用，例如用于滤波；在此背景下，变换的离散化输入通常被称为*信号*，它存在于*时域*中。输出被称为*频谱*或*变换*，存在于*频域*中。
实现细节#
定义 DFT 的方法有很多种，它们的指数符号、归一化等各不相同。在此实现中，DFT 定义为
DFT 通常定义为复数输入和输出，线性频率 \(f\) 处的单频率分量由复指数 \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\) 表示，其中 \(\Delta t\) 是采样间隔。
结果中的值遵循所谓的“标准”顺序：如果 A = fft(a, n)，则 A[0] 包含零频率项（信号之和），对于实数输入，它始终是纯实数。然后 A[1:n/2] 包含正频率项，而 A[n/2+1:] 包含负频率项，按负频率递减的顺序排列。对于偶数个输入点，A[n/2] 表示正和负奈奎斯特频率，对于实数输入也纯实数。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2] 包含最大的正频率，而 A[(n+1)/2] 包含最大的负频率。例程 np.fft.fftfreq(n) 返回一个数组，给出输出中相应元素的频率。例程 np.fft.fftshift(A) 移动变换及其频率，将零频率分量置于中间，而 np.fft.ifftshift(A) 则撤销该移动。
当输入 a 是时域信号且 A = fft(a) 时，np.abs(A) 是其幅度谱，np.abs(A)**2 是其功率谱。相位谱通过 np.angle(A) 获得。
逆 DFT 定义为
它与正向变换的区别在于指数参数的符号以及默认的 \(1/n\) 归一化。
类型提升#
numpy.fft 将 float32 和 complex64 数组分别提升为 float64 和 complex128 数组。对于不提升输入数组的 FFT 实现，请参阅 scipy.fftpack。
归一化#
参数 norm 指示正向/逆向变换对中的哪个方向被缩放以及使用何种归一化因子。默认归一化（"backward"）使得正向变换不缩放，逆向变换按 \(1/n\) 缩放。通过将关键字参数 norm 设置为 "ortho"，可以获得酉变换，使得正向和逆向变换都按 \(1/\sqrt{n}\) 缩放。最后，将关键字参数 norm 设置为 "forward" 会使正向变换按 \(1/n\) 缩放，而逆向变换不缩放（即与默认的 "backward" 完全相反）。None 是默认选项 "backward" 的别名，用于向后兼容。
实数和厄米特变换#
当输入为纯实数时，其变换是厄米特的，即频率 \(f_k\) 处的分量是频率 \(-f_k\) 处分量的复共轭，这意味着对于实数输入，负频率分量中没有正频率分量中未包含的信息。rfft 系列函数旨在处理实数输入，并通过仅计算正频率分量（包括奈奎斯特频率）来利用这种对称性。因此，n 个输入点产生 n/2+1 个复数输出点。此系列的逆变换假设其输入具有相同的对称性，并且对于 n 个点的输出，使用 n/2+1 个输入点。
相应地，当频谱为纯实数时，信号是厄米特的。hfft 系列函数利用这种对称性，在输入（时）域中使用 n/2+1 个复数点来表示频率域中的 n 个实数点。
在更高维度中，FFT 用于例如图像分析和滤波。FFT 的计算效率意味着它也可以是计算大卷积的更快方法，利用了时域中的卷积等效于频域中的逐点乘法的性质。
更高维度#
在二维中，DFT 定义为
这以显而易见的方式扩展到更高维度，更高维度中的逆变换也以同样的方式扩展。
参考文献#
示例#
有关示例，请参阅各个函数。