numpy.random.Generator.multivariate_normal

方法

random.Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8, *, method='svd')

从多元正态分布中抽取随机样本。

多元正态分布、多项正态分布或高斯分布是一维正态分布到更高维度的推广。这种分布由其均值和协方差矩阵指定。这些参数类似于一维正态分布的均值（平均值或“中心”）和方差（标准差的平方或“宽度”）。

参数：

mean长度为 N 的一维类数组

N 维分布的均值。

cov形状为 (N, N) 的二维类数组

分布的协方差矩阵。为了进行正确的采样，它必须是对称的和半正定的。

size整数或整数元组，可选

给定一个形状，例如 (m,n,k)，将生成 m*n*k 个样本，并将其打包成 m×n×k 的排列。因为每个样本都是 N 维的，所以输出形状为 (m,n,k,N)。如果没有指定形状，则返回单个（N 维）样本。

check_valid{'warn'，'raise'，'ignore'}，可选

协方差矩阵不是半正定时该如何处理。

tol浮点数，可选

检查协方差矩阵奇异值时的容差。在检查之前，cov 将被转换为双精度浮点数。

method{'svd'，'eigh'，'cholesky'}，可选

cov 输入用于计算一个因子矩阵 A，使得 A @ A.T = cov。此参数用于选择用于计算因子矩阵 A 的方法。默认方法 'svd' 最慢，而 'cholesky' 最快，但不如最慢的方法稳健。方法 eigh 使用特征分解来计算 A，比 svd 快，但比 cholesky 慢。

返回：

outndarray

如果提供了 size，则为抽取的样本，形状为 size。如果没有，则形状为 (N,)。

换句话说，每个条目 out[i,j,...,:] 是从分布中抽取的 N 维值。

备注

均值是 N 维空间中的一个坐标，它表示最有可能生成样本的位置。这类似于一维或单变量正态分布的钟形曲线峰值。

协方差表示两个变量一起变化的程度。从多元正态分布中，我们抽取 N 维样本，\(X = [x_1, x_2, ... x_N]\)。协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差。\(C_{ii}\) 元素是 \(x_i\) 的方差（即它的“扩展”）。

除了指定完整的协方差矩阵外，常用的近似方法包括：

• 球形协方差（cov 是单位矩阵的倍数）

• 对角协方差（cov 具有非负元素，并且仅在对角线上）

可以通过绘制生成的点来查看这种几何属性。

>>> mean = [0, 0]
>>> cov = [[1, 0], [0, 100]]  # diagonal covariance

对角协方差意味着点沿着 x 轴或 y 轴方向。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x, y = rng.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
>>> plt.plot(x, y, 'x')
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.show()

注意，协方差矩阵必须是半正定的（又称非负定的）。否则，此方法的行为未定义，并且不保证向后兼容性。

此函数内部使用线性代数例程，因此结果可能在架构、操作系统甚至构建之间不完全相同（即使精度相同）。例如，如果 cov 具有多个相等的奇异值并且 method 为 'svd'（默认值），则很可能出现这种情况。在这种情况下，method='cholesky' 可能更稳健。

参考文献

[1]

Papoulis, A., “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes,” 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1991.

[2]

Duda, R. O., Hart, P. E., and Stork, D. G., “Pattern Classification,” 2nd ed., New York: Wiley, 2001.

示例

>>> mean = (1, 2)
>>> cov = [[1, 0], [0, 1]]
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
>>> x.shape
(3, 3, 2)

我们可以使用除了默认方法之外的其他方法来分解 cov

>>> y = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3), method='cholesky')
>>> y.shape
(3, 3, 2)

在这里，我们从均值为 [0, 0]、协方差矩阵为 [[6, -3], [-3, 3.5]] 的二元正态分布中生成 800 个样本。样本的第一个和第二个分量的预期方差分别为 6 和 3.5，预期相关系数为 -3/sqrt(6*3.5) ≈ -0.65465。

>>> cov = np.array([[6, -3], [-3, 3.5]])
>>> pts = rng.multivariate_normal([0, 0], cov, size=800)

检查样本的均值、协方差和相关系数是否接近预期值。

>>> pts.mean(axis=0)
array([ 0.0326911 , -0.01280782])  # may vary
>>> np.cov(pts.T)
array([[ 5.96202397, -2.85602287],
       [-2.85602287,  3.47613949]])  # may vary
>>> np.corrcoef(pts.T)[0, 1]
-0.6273591314603949  # may vary

我们可以用散点图来可视化这些数据。点云的方向说明了此样本分量的负相关性。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(pts[:, 0], pts[:, 1], '.', alpha=0.5)
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.grid()
>>> plt.show()