离散傅里叶变换 (numpy.fft)

SciPy 模块 scipy.fft 是 numpy.fft 的更全面的超集，它只包含一组基本的例程。

标准 FFT

fft(a[, n, axis, norm, out])	计算一维离散傅里叶变换。
ifft(a[, n, axis, norm, out])	计算一维逆离散傅里叶变换。
fft2(a[, s, axes, norm, out])	计算二维离散傅里叶变换。
ifft2(a[, s, axes, norm, out])	计算二维逆离散傅里叶变换。
fftn(a[, s, axes, norm, out])	计算 N 维离散傅里叶变换。
ifftn(a[, s, axes, norm, out])	计算 N 维逆离散傅里叶变换。

实数 FFT

rfft(a[, n, axis, norm, out])	计算实数输入的一维离散傅里叶变换。
irfft(a[, n, axis, norm, out])	计算 rfft 的逆变换。
rfft2(a[, s, axes, norm, out])	计算实数数组的二维 FFT。
irfft2(a[, s, axes, norm, out])	计算 rfft2 的逆变换。
rfftn(a[, s, axes, norm, out])	计算实数输入的 N 维离散傅里叶变换。
irfftn(a[, s, axes, norm, out])	计算 rfftn 的逆变换。

厄米特 FFT

hfft(a[, n, axis, norm, out])	计算具有厄米特对称性（即实数谱）的信号的 FFT。
ihfft(a[, n, axis, norm, out])	计算具有厄米特对称性的信号的逆 FFT。

辅助例程

fftfreq(n[, d, device])	返回离散傅里叶变换的采样频率。
rfftfreq(n[, d, device])	返回离散傅里叶变换的采样频率（用于 rfft 和 irfft）。
fftshift(x[, axes])	将零频率分量移到频谱中心。
ifftshift(x[, axes])	fftshift 的逆变换。

背景信息

傅里叶分析本质上是一种将函数表示为周期分量之和的方法，以及从这些分量中恢复函数的方法。当函数及其傅里叶变换都被替换为离散对应物时，它被称为离散傅里叶变换 (DFT)。DFT 成为数值计算的支柱，部分原因在于它有一个非常快的计算算法，称为快速傅里叶变换 (FFT)，该算法为高斯 (1805) 所知，并以其当前形式由库利和图基 [CT] 提出。普雷斯等人 [NR] 对傅里叶分析及其应用进行了易于理解的介绍。

由于离散傅里叶变换将它的输入分离成在离散频率处贡献的成分，它在数字信号处理中有很多应用，例如用于滤波，在这个背景下，变换的离散输入习惯上被称为 *信号*，它存在于 *时域* 中。输出称为 *频谱* 或 *变换*，它存在于 *频域* 中。

实现细节

有很多方法可以定义 DFT，它们在指数的符号、归一化等方面有所不同。在这个实现中，DFT 定义为

\[A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left\{-2\pi i{mk \over n}\right\} \qquad k = 0,\ldots,n-1.\]

DFT 通常为复数输入和输出定义，在线性频率为 \(f\) 的单频率分量由复数指数 \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\) 表示，其中 \(\Delta t\) 是采样间隔。

结果中的值遵循所谓的“标准”顺序：如果 A = fft(a, n)，则 A[0] 包含零频率项（信号的总和），对于实数输入，它始终是纯实数。然后 A[1:n/2] 包含正频率项，而 A[n/2+1:] 包含负频率项，按负频率递减的顺序排列。对于偶数个输入点，A[n/2] 表示正负奈奎斯特频率，对于实数输入也是纯实数。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2] 包含最大的正频率，而 A[(n+1)/2] 包含最大的负频率。例程 np.fft.fftfreq(n) 返回一个数组，该数组给出输出中对应元素的频率。例程 np.fft.fftshift(A) 会将变换及其频率进行移位，以便将零频率分量放在中间，而 np.fft.ifftshift(A) 会撤销该移位。

当输入 a 是时域信号且 A = fft(a) 时，np.abs(A) 是它的幅度谱，而 np.abs(A)**2 是它的功率谱。相位谱由 np.angle(A) 获得。

逆 DFT 定义为

\[a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left\{2\pi i{mk\over n}\right\} \qquad m = 0,\ldots,n-1.\]

它与正向变换的不同之处在于指数参数的符号和默认情况下 \(1/n\) 的归一化。

类型提升

numpy.fft 将 float32 和 complex64 数组分别提升到 float64 和 complex128 数组。对于不提升输入数组的 FFT 实现，请参阅 scipy.fftpack。

归一化

参数 norm 指示正向/逆变换对中的哪个方向进行缩放以及使用什么归一化因子。默认归一化 ("backward") 使正向变换不进行缩放，而逆变换则按 \(1/n\) 进行缩放。可以通过将关键字参数 norm 设置为 "ortho" 来获得酉变换，以便正向和逆变换都按 \(1/\sqrt{n}\) 进行缩放。最后，将关键字参数 norm 设置为 "forward" 会使正向变换按 \(1/n\) 进行缩放，而逆变换不进行缩放（即与默认的 "backward" 恰好相反）。None 是默认选项 "backward" 的别名，用于向后兼容性。

实数和厄米特变换

当输入是纯实数时，它的变换是厄米特的，即频率为 \(f_k\) 的分量是频率为 \(-f_k\) 的分量的复共轭，这意味着对于实数输入，负频率分量中没有正频率分量中没有的信息。rfft 函数族专为处理实数输入而设计，并利用这种对称性，仅计算正频率分量，直至奈奎斯特频率（包含奈奎斯特频率）。因此，n 个输入点会产生 n/2+1 个复数输出点。此函数族的逆变换假设其输入具有相同的对称性，对于 n 个输出点，它会使用 n/2+1 个输入点。

相应地，当频谱是纯实数时，信号是厄米特的。hfft 函数族利用这种对称性，在输入（时域）中使用 n/2+1 个复数点来表示频域中的 n 个实数点。

在更高维度中，FFT被用于图像分析和滤波等应用。 FFT的计算效率意味着它也可以是一种更快的计算大型卷积的方法，因为它利用了时域卷积等效于频域逐点乘法的性质。

更高维度

在二维情况下，DFT定义为

\[A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left\{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right\} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,\]

该定义可以很容易地扩展到更高维度，反变换在更高维度上的扩展也类似。

参考文献

[CT]

Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series,” Math. Comput. 19: 297-301.

[NR]

Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., and Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ch. 12-13. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.

示例

有关示例，请参见各种函数。