线性代数 (numpy.linalg)

NumPy 线性代数函数依赖于 BLAS 和 LAPACK 来提供标准线性代数算法的高效低级实现。这些库可以通过 NumPy 本身使用其参考实现子集的 C 版本来提供，但只要可能，更倾向于利用专门的处理器功能进行高度优化的库。此类库的示例包括 OpenBLAS、MKL (TM) 和 ATLAS。由于这些库是多线程的且依赖于处理器，因此可能需要环境变量和外部包（例如 threadpoolctl）来控制线程数量或指定处理器架构。

SciPy 库还包含一个 linalg 子模块，并且 SciPy 和 NumPy 子模块提供的功能存在重叠。SciPy 包含 numpy.linalg 中未找到的函数，例如与 LU 分解和 Schur 分解相关的函数、计算伪逆的多种方法以及矩阵超越函数（例如矩阵对数）。某些同时存在于两个模块中的函数在 scipy.linalg 中具有增强的功能。例如，scipy.linalg.eig 可以接受第二个矩阵参数来解决广义特征值问题。但是，NumPy 中的一些函数具有更灵活的广播选项。例如，numpy.linalg.solve 可以处理“堆叠”数组，而 scipy.linalg.solve 仅接受单个方阵作为其第一个参数。

注意

本页中使用的术语“矩阵”表示一个二维 numpy.array 对象，而不是 numpy.matrix 对象。后者已不再推荐，即使用于线性代数也是如此。有关更多信息，请参阅 矩阵对象文档。

@ 运算符

在 NumPy 1.10.0 中引入的 @ 运算符在计算二维数组之间的矩阵积时优于其他方法。 numpy.matmul 函数实现了 @ 运算符。

矩阵和向量积

dot(a, b[, out])	两个数组的点积。
linalg.multi_dot(arrays, *[, out])	在一个函数调用中计算两个或多个数组的点积，同时自动选择最快的评估顺序。
vdot(a, b, /)	返回两个向量的点积。
vecdot(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	两个数组的向量点积。
linalg.vecdot(x1, x2, /, *[, axis])	计算向量点积。
inner(a, b, /)	两个数组的内积。
outer(a, b[, out])	计算两个向量的外积。
matmul(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	两个数组的矩阵积。
linalg.matmul(x1, x2, /)	计算矩阵积。
tensordot(a, b[, axes])	沿指定轴计算张量点积。
linalg.tensordot(x1, x2, /, *[, axes])	沿指定轴计算张量点积。
einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...])	对操作数评估爱因斯坦求和约定。
einsum_path(subscripts, *operands[, optimize])	通过考虑创建中间数组，评估 einsum 表达式的最低成本收缩顺序。
linalg.matrix_power(a, n)	将方阵提升到 (整数) 幂 n。
kron(a, b)	两个数组的克罗内克积。
linalg.cross(x1, x2, /, *[, axis])	返回 3 元素向量的叉积。

分解

linalg.cholesky(a, /, *[, upper])	Cholesky 分解。
linalg.outer(x1, x2, /)	计算两个向量的外积。
linalg.qr(a[, mode])	计算矩阵的 qr 分解。
linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv, ...])	奇异值分解。
linalg.svdvals(x, /)	返回矩阵（或矩阵堆栈）x 的奇异值。

矩阵特征值

linalg.eig(a)	计算方阵的特征值和右特征向量。
linalg.eigh(a[, UPLO])	返回复厄米特（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量。
linalg.eigvals(a)	计算一般矩阵的特征值。
linalg.eigvalsh(a[, UPLO])	计算复厄米特或实对称矩阵的特征值。

范数和其他数字

linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims])	矩阵或向量范数。
linalg.matrix_norm(x, /, *[, keepdims, ord])	计算矩阵（或矩阵堆栈）x 的矩阵范数。
linalg.vector_norm(x, /, *[, axis, ...])	计算向量（或向量批次）x 的向量范数。
linalg.cond(x[, p])	计算矩阵的条件数。
linalg.det(a)	计算数组的行列式。
linalg.matrix_rank(A[, tol, hermitian, rtol])	使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩
linalg.slogdet(a)	计算数组的行列式的符号和（自然）对数。
trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out])	返回数组沿对角线的总和。
linalg.trace(x, /, *[, offset, dtype])	返回矩阵（或矩阵堆栈）x 沿指定对角线的总和。

求解方程和矩阵求逆

linalg.solve(a, b)	求解线性矩阵方程或线性标量方程组。
linalg.tensorsolve(a, b[, axes])	求解张量方程 a x = b 中的 x。
linalg.lstsq(a, b[, rcond])	返回线性矩阵方程的最小二乘解。
linalg.inv(a)	计算矩阵的逆。
linalg.pinv(a[, rcond, hermitian, rtol])	计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。
linalg.tensorinv(a[, ind])	计算 N 维数组的“逆”。

其他矩阵操作

diagonal(a[, offset, axis1, axis2])	返回指定的对角线。
linalg.diagonal(x, /, *[, offset])	返回矩阵（或矩阵堆栈）x 的指定对角线。
linalg.matrix_transpose(x, /)	转置矩阵（或矩阵堆栈）x。

异常

linalg.LinAlgError

linalg 函数引发的通用 Python 异常派生对象。

一次对多个矩阵进行线性代数运算

版本 1.8.0 中的新功能。

上面列出的几个线性代数例程能够一次计算多个矩阵的结果，如果它们被堆叠到同一个数组中。

这在文档中通过输入参数规范（例如 a : (..., M, M) array_like）来指示。这意味着，例如，如果给定一个输入数组 a.shape == (N, M, M)，它将被解释为 N 个矩阵的“堆栈”，每个矩阵的大小为 M×M。类似的规范适用于返回值，例如行列式具有 det : (...)，在这种情况下将返回一个形状为 det(a).shape == (N,) 的数组。这可以推广到对高维数组的线性代数运算：多维数组的最后 1 或 2 个维度将根据每个操作的需要解释为向量或矩阵。