numpy.linalg.pinv

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)

计算矩阵的 (Moore-Penrose) 伪逆。

使用矩阵的奇异值分解 (SVD) 计算矩阵的广义逆，并包含所有大奇异值。

在版本 1.14 中变更: 现在可以对矩阵堆栈进行操作

参数:

a(…, M, N) array_like

要进行伪逆的矩阵或矩阵堆栈。

rcond(…) array_like of float, optional

小奇异值的截止值。小于或等于 rcond * largest_singular_value 的奇异值将被设置为零。针对矩阵堆栈进行广播。默认值：1e-15。

hermitianbool, optional

如果为 True，则假定 a 为 Hermitian（如果为实值，则为对称），这将启用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。

版本 1.17.0 中的新增功能。

rtol(…) array_like of float, optional

与 rcond 相同，但它是数组 API 兼容的参数名称。一次只能设置 rcond 或 rtol。如果没有提供任何参数，则使用 NumPy 的 1e-15 默认值。如果传递 rtol=None，则使用 API 标准默认值。

版本 2.0.0 中的新增功能。

返回值:

B(…, N, M) ndarray

a 的伪逆。如果 a 是 matrix 实例，则 B 也是如此。

引发:

LinAlgError

如果 SVD 计算没有收敛。

参见

scipy.linalg.pinv

SciPy 中的类似函数。

scipy.linalg.pinvh

计算 Hermitian 矩阵的 (Moore-Penrose) 伪逆。

备注

矩阵 A 的伪逆，记为 \(A^+\)，定义为：“解决[最小二乘问题] \(Ax = b\) 的矩阵”，即如果 \(\bar{x}\) 被认为是该解，则 \(A^+\) 是使 \(\bar{x} = A^+b\) 成立的矩阵。

可以证明，如果 \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) 是 A 的奇异值分解，则 \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\)，其中 \(Q_{1,2}\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是对角矩阵，包含 A 的所谓奇异值（通常后面跟着零），然后 \(\Sigma^+\) 只是对角矩阵，包含 A 的奇异值的倒数（同样，后面跟着零）。 [1]

参考文献

[1]

G. Strang, 线性代数及其应用，第 2 版，奥兰多，佛罗里达州，学术出版社，1980 年，第 139-142 页。

示例

以下示例检查 a * a+ * a == a 和 a+ * a * a+ == a+

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True