numpy.linalg.pinv

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)

计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。

使用矩阵的奇异值分解 (SVD) 并包含所有“大”奇异值来计算矩阵的广义逆。

参数：

a(…, M, N) array_like

要进行伪逆计算的矩阵或矩阵堆栈。

rcond(…) array_like of float, optional

小奇异值的截止值。小于或等于 rcond * largest_singular_value 的奇异值将设置为零。针对矩阵堆栈进行广播。默认值：1e-15。

hermitianbool, optional

如果为 True，则假设 a 为厄米特矩阵（如果为实值，则为对称矩阵），从而可以采用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。

rtol(…) array_like of float, optional

与 rcond 相同，但它是与数组 API 兼容的参数名称。一次只能设置 rcond 或 rtol 之一。如果两者都没有提供，则使用 NumPy 的 1e-15 默认值。如果传递 rtol=None，则使用 API 标准默认值。

2.0.0 版的新功能。

返回：

B(…, N, M) ndarray

a 的伪逆。如果 a 是 matrix 实例，则 B 也是。

引发：

LinAlgError

如果 SVD 计算不收敛。

另请参见

scipy.linalg.pinv

SciPy 中的类似函数。

scipy.linalg.pinvh

计算厄米特矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。

备注

矩阵 A 的伪逆，记作 \(A^+\)，定义如下：“解决[最小二乘问题] \(Ax = b\) 的矩阵”，即，如果 \(\bar{x}\) 是该解，则 \(A^+\) 是使得 \(\bar{x} = A^+b\) 成立的矩阵。

可以证明，如果 \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) 是 A 的奇异值分解，则 \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\)，其中 \(Q_{1,2}\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是由 A 的奇异值（通常后跟零）组成的对角矩阵，然后 \(\Sigma^+\) 只是由 A 的奇异值的倒数（同样，后跟零）组成的对角矩阵。[1]

参考文献

[1]

G. Strang，《线性代数及其应用》，第二版，佛罗里达州奥兰多，学术出版社，1980 年，第 139-142 页。

示例

以下示例检查 a * a+ * a == a 和 a+ * a * a+ == a+

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True