numpy.linalg.pinv#

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)[source]#

计算矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆。

使用矩阵的奇异值分解 (SVD) 计算矩阵的广义逆，并包含所有大的奇异值。

参数:

a(…, M, N) array_like: 要进行伪逆的矩阵或矩阵堆栈。
rcond(…) array_like of float, optional: 用于判断奇异值是否小的阈值。小于或等于 rcond * largest_singular_value 的奇异值将被设置为零。可以与矩阵堆栈进行广播。默认值：1e-15。
hermitianbool, optional: 如果为 True，则假定 a 是厄米矩阵（如果是实值矩阵，则为对称矩阵），从而可以使用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。
rtol(…) array_like of float, optional: 与 rcond 相同，但它是一个 Array API 兼容的参数名称。一次只能设置 rcond 或 rtol。如果两者都未提供，则使用 NumPy 的 1e-15 默认值。如果传递 rtol=None，则使用 API 标准默认值。

版本 2.0.0 中新增。

返回:

B(…, N, M) ndarray: a 的伪逆。如果 a 是一个 matrix 实例，那么 B 也是。

引发:

LinAlgError: 如果 SVD 计算不收敛。

另请参阅

scipy.linalg.pinv: SciPy 中的类似函数。
scipy.linalg.pinvh: 计算厄米矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆。

备注

矩阵 A 的伪逆，记作 \(A^+\)，定义为：“解决”[最小二乘问题] \(Ax = b\) 的矩阵，即，如果 \(\bar{x}\) 是该解，则 \(A^+\) 是一个矩阵，使得 \(\bar{x} = A^+b\)。

可以证明，如果 \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) 是 A 的奇异值分解，则 \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\)，其中 \(Q_{1,2}\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是由 A 的所谓奇异值组成的对角矩阵（后面通常跟着零），然后 \(\Sigma^+\) 仅仅是由 A 的奇异值的倒数组成的对角矩阵（同样，后面跟着零）。[1]

参考

[1]

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, pp. 139-142。

示例

以下示例检查 a * a+ * a == a 和 a+ * a * a+ == a+

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True