numpy.linalg.norm#

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)[source]#

矩阵或向量的范数。

此函数能够返回八种不同的矩阵范数之一，或无限多种向量范数之一（如下所述），具体取决于 ord 参数的值。

参数：
xarray_like

输入数组。如果 axis 为 None，除非 ord 为 None，否则 x 必须是一维或二维的。如果 axis 和 ord 都为 None，则返回 x.ravel 的 2-范数。

ord{int, float, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}, 可选

范数的阶数（有关矩阵和向量分别支持的值，请参见“注释”下的表格）。inf 表示 NumPy 的 inf 对象。默认为 None。

axis{None, int, 2-元组 ints}, 可选。

如果 axis 是一个整数，它指定计算向量范数的 x 的轴。如果 axis 是一个 2-元组，它指定保存二维矩阵的轴，并计算这些矩阵的矩阵范数。如果 axis 为 None，则返回向量范数（当 x 为一维时）或矩阵范数（当 x 为二维时）。默认为 None。

keepdimsbool, 可选

如果将其设置为 True，则归一化的轴将保留在结果中，大小为 1。使用此选项，结果将与原始 x 正确广播。

返回值：
nfloat 或 ndarray

矩阵或向量(s) 的范数。

参见

scipy.linalg.norm

SciPy 中的类似函数。

注释

对于 ord < 1 的值，结果严格来说不是数学上的“范数”，但它对于各种数值用途仍然可能有用。

可以计算以下范数

ord

矩阵范数

向量范数

None

Frobenius 范数

2-范数

‘fro’

Frobenius 范数

–

‘nuc’

核范数

–

inf

max(sum(abs(x), axis=1))

max(abs(x))

-inf

min(sum(abs(x), axis=1))

min(abs(x))

0

–

sum(x != 0)

1

max(sum(abs(x), axis=0))

如下

-1

min(sum(abs(x), axis=0))

如下

2

2-范数（最大奇异值）

如下

-2

最小奇异值

如下

其他

–

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

Frobenius 范数由 [1] 给出

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核范数是奇异值的总和。

Frobenius 范数和核范数阶数仅针对矩阵定义，当 x.ndim != 2 时会引发 ValueError。

参考文献

[1]

G. H. Golub 和 C. F. Van Loan，《矩阵计算》，马里兰州巴尔的摩，约翰霍普金斯大学出版社，1985 年，第 15 页

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用 axis 参数计算向量范数

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用 axis 参数计算矩阵范数

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)
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