numpy.linalg.norm#
- linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)[source]#
矩阵或向量范数。
此函数能够返回八种不同的矩阵范数中的一种,或无穷多个向量范数中的一种(在下面描述),具体取决于
ord
参数的值。- 参数:
- xarray_like
输入数组。如果 axis 为 None,则 x 必须为 1 维或 2 维,除非 ord 为 None。如果 axis 和 ord 都为 None,则将返回
x.ravel
的 2 范数。- ord{非零整数,inf,-inf,‘fro’,‘nuc’},可选
范数的阶数(请参阅
Notes
下面的表格)。inf 表示 numpy 的inf
对象。默认值为 None。- axis{None,整数,2 个整数的元组},可选。
如果 axis 是一个整数,则它指定 x 的轴,沿该轴计算向量范数。如果 axis 是一个 2 元组,则它指定保存 2 维矩阵的轴,并且计算这些矩阵的矩阵范数。如果 axis 为 None,则返回向量范数(当 x 为 1 维时)或矩阵范数(当 x 为 2 维时)。默认值为 None。
版本 1.8.0 中的新增功能。
- keepdims布尔值,可选
如果将其设置为 True,则对之进行范数化的轴将作为尺寸为一的维度保留在结果中。使用此选项,结果将与原始 x 正确广播。
版本 1.10.0 中的新增功能。
- 返回值:
- n浮点数或 ndarray
矩阵或向量(s)的范数。
另请参阅
scipy.linalg.norm
SciPy 中的类似函数。
注释
对于
ord < 1
的值,结果严格来说不是数学上的“范数”,但它可能仍然对各种数值目的有用。可以计算以下范数
ord
矩阵的范数
向量的范数
None
Frobenius 范数
2 范数
‘fro’
Frobenius 范数
–
‘nuc’
核范数
–
inf
max(sum(abs(x), axis=1))
max(abs(x))
-inf
min(sum(abs(x), axis=1))
min(abs(x))
0
–
sum(x != 0)
1
max(sum(abs(x), axis=0))
如下
-1
min(sum(abs(x), axis=0))
如下
2
2 范数(最大奇异值)
如下
-2
最小奇异值
如下
其他
–
sum(abs(x)**ord)**(1./ord)
Frobenius 范数由 [1]
\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)
核范数是奇异值的总和。
Frobenius 范数和核范数阶数仅针对矩阵定义,当
x.ndim != 2
时会引发 ValueError。参考文献
[1]G. H. Golub 和 C. F. Van Loan,矩阵计算,巴尔的摩,马里兰州,约翰霍普金斯大学出版社,1985 年,第 15 页
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy import linalg as LA >>> a = np.arange(9) - 4 >>> a array([-4, -3, -2, ..., 2, 3, 4]) >>> b = a.reshape((3, 3)) >>> b array([[-4, -3, -2], [-1, 0, 1], [ 2, 3, 4]])
>>> LA.norm(a) 7.745966692414834 >>> LA.norm(b) 7.745966692414834 >>> LA.norm(b, 'fro') 7.745966692414834 >>> LA.norm(a, np.inf) 4.0 >>> LA.norm(b, np.inf) 9.0 >>> LA.norm(a, -np.inf) 0.0 >>> LA.norm(b, -np.inf) 2.0
>>> LA.norm(a, 1) 20.0 >>> LA.norm(b, 1) 7.0 >>> LA.norm(a, -1) -4.6566128774142013e-010 >>> LA.norm(b, -1) 6.0 >>> LA.norm(a, 2) 7.745966692414834 >>> LA.norm(b, 2) 7.3484692283495345
>>> LA.norm(a, -2) 0.0 >>> LA.norm(b, -2) 1.8570331885190563e-016 # may vary >>> LA.norm(a, 3) 5.8480354764257312 # may vary >>> LA.norm(a, -3) 0.0
使用 axis 参数计算向量范数
>>> c = np.array([[ 1, 2, 3], ... [-1, 1, 4]]) >>> LA.norm(c, axis=0) array([ 1.41421356, 2.23606798, 5. ]) >>> LA.norm(c, axis=1) array([ 3.74165739, 4.24264069]) >>> LA.norm(c, ord=1, axis=1) array([ 6., 6.])
使用 axis 参数计算矩阵范数
>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2) >>> LA.norm(m, axis=(1,2)) array([ 3.74165739, 11.22497216]) >>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :]) (3.7416573867739413, 11.224972160321824)