numpy.linalg.svd#

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)[source]#

奇异值分解。

当 a 是一个二维数组，并且 full_matrices=False 时，它被分解为 u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh，其中 u 和 vh 的厄米特转置是具有正交列的二维数组，而 s 是 a 的奇异值的 1D 数组。当 a 是高维数组时，如以下所述，SVD 将以堆叠模式应用。

参数：

a(…, M, N) array_like: 一个实数或复数数组，其中 a.ndim >= 2。
full_matricesbool, optional: 如果为 True (默认值)，则 u 和 vh 的形状分别为 (..., M, M) 和 (..., N, N)。否则，形状分别为 (..., M, K) 和 (..., K, N)，其中 K = min(M, N)。
compute_uvbool, optional: 是否除了 s 之外还要计算 u 和 vh。默认为 True。
hermitianbool, optional: 如果为 True，则假设 a 为厄米特矩阵（如果为实数值则为对称矩阵），从而可以使用更有效的方法查找奇异值。默认为 False。

返回：

当 compute_uv 为 True 时，结果是一个命名元组，包含以下
属性名称
U{ (…, M, M), (…, M, K) } array: 酉数组。前 a.ndim - 2 维与输入 a 的维数相同。最后两维的大小取决于 full_matrices 的值。只有当 compute_uv 为 True 时才返回。
S(…, K) array: 包含奇异值的向量，每个向量中的奇异值按降序排列。前 a.ndim - 2 维与输入 a 的维数相同。
Vh{ (…, N, N), (…, K, N) } array: 酉数组。前 a.ndim - 2 维与输入 a 的维数相同。最后两维的大小取决于 full_matrices 的值。只有当 compute_uv 为 True 时才返回。

引发：

LinAlgError: 如果 SVD 计算不收敛。

另请参见

scipy.linalg.svd: SciPy 中的类似函数。
scipy.linalg.svdvals: 计算矩阵的奇异值。

备注

分解使用 LAPACK 例程 _gesdd 执行。

SVD 通常用于二维矩阵 \(A\) 的分解。高维情况将在下面讨论。在二维情况下，SVD 写成 \(A = U S V^H\)，其中 \(A = a\)，\(U= u\)，\(S= \mathtt{np.diag}(s)\) 和 \(V^H = vh\)。一维数组 s 包含 a 的奇异值，u 和 vh 是酉矩阵。 vh 的行是 \(A^H A\) 的特征向量，u 的列是 \(A A^H\) 的特征向量。在这两种情况下，对应的（可能非零）特征值都由 s**2 给出。

如果 a 的维数超过两维，则广播规则适用，如 Linear algebra on several matrices at once 中所述。这意味着 SVD 正在“堆叠”模式下工作：它迭代前 a.ndim - 2 维的所有索引，并且对于每种组合，SVD 都应用于最后两个索引。矩阵 a 可以使用 (u * s[..., None, :]) @ vh 或 u @ (s[..., None] * vh) 从分解中重建。（对于低于 3.5 的 python 版本，@ 运算符可以用函数 np.matmul 替换。）

如果 a 是一个 matrix 对象（而不是 ndarray），则所有返回值也是如此。

示例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6)) + 1j*rng.normal(size=(9, 6))
>>> b = rng.normal(size=(2, 7, 8, 3)) + 1j*rng.normal(size=(2, 7, 8, 3))

基于完整 SVD 的重建，二维情况

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U[:, :6] * S, Vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基于简化 SVD 的重建，二维情况

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U * S, Vh))
True
>>> smat = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基于完整 SVD 的重建，四维情况

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3] * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3], S[..., None] * Vh))
True

基于简化 SVD 的重建，四维情况

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U, S[..., None] * Vh))
True