numpy.linalg.qr#

linalg.qr(a, mode='reduced')[source]#

计算矩阵的 QR 分解。

将矩阵 a 分解为 qr，其中 q 是正交的，r 是上三角的。

参数：
aarray_like, shape (…, M, N)

维度至少为 2 的类数组对象。

mode{‘reduced’, ‘complete’, ‘r’, ‘raw’}, optional, default: ‘reduced’

如果 K = min(M, N)，那么

  • ‘reduced’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, K), (…, K, N)

  • ‘complete’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, M), (…, M, N)

  • ‘r’ : 仅返回 R，维度为 (…, K, N)

  • ‘raw’ : 返回 h, tau，维度为 (…, N, M), (…, K,)

‘reduced’, ‘complete, and ‘raw’ 选项是在 numpy 1.8 中新增的，有关更多信息，请参阅说明。默认值为 ‘reduced’，为了保持与早期版本 numpy 的向后兼容性，它和旧的默认值 ‘full’ 可以省略。注意在 ‘raw’ 模式下返回的数组 h 是为了调用 Fortran 而转置的。‘economic’ 模式已弃用。‘full’ 和 ‘economic’ 模式可以使用第一个字母进行传递以保持向后兼容，但所有其他模式必须完整拼写。有关更多说明，请参阅说明。

返回值：
当 mode 为 ‘reduced’ 或 ‘complete’ 时，结果将是一个命名的元组，
具有属性 Q 和 R。
Qndarray of float or complex, optional

具有正交列的矩阵。当 mode = ‘complete’ 时，结果是一个正交/酉矩阵，具体取决于 a 是实数/复数。在这种情况下，行列式可以是 +/- 1。如果输入数组的维度大于 2，则返回具有上述属性的矩阵堆栈。

Rndarray of float or complex, optional

上三角矩阵，如果输入数组的维度大于 2，则为上三角矩阵堆栈。

(h, tau)ndarrays of np.double or np.cdouble, optional

数组 h 包含生成 q 的 Householder 反射器以及 r。tau 数组包含反射器的缩放因子。在已弃用的 ‘economic’ 模式下，仅返回 h。

引发：
LinAlgError

如果分解失败。

另请参阅

scipy.linalg.qr

SciPy 中的类似函数。

scipy.linalg.rq

计算矩阵的 RQ 分解。

说明

这是 LAPACK 例程 dgeqrf, zgeqrf, dorgqr, 和 zungqr 的接口。

有关 QR 分解的更多信息，例如： https://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

ndarray 的子类将被保留，除了 ‘raw’ 模式。因此，如果 a 是 matrix 类型，则所有返回值也将是矩阵。

NumPy 1.8.0 中添加了新的 ‘reduced’, ‘complete’ 和 ‘raw’ 选项，旧选项 ‘full’ 被设为 ‘reduced’ 的别名。此外，‘full’ 和 ‘economic’ 选项已被弃用。由于 ‘full’ 是以前的默认值，而 ‘reduced’ 是新的默认值，因此可以通过让 mode 默认来维护向后兼容性。添加 ‘raw’ 选项是为了能够使用 LAPACK 例程，这些例程可以使用 Householder 反射器将数组乘以 q。注意在这种情况下，返回的数组是 np.double 或 np.cdouble 类型，并且 h 数组被转置以兼容 FORTRAN。目前 numpy 还没有公开使用 ‘raw’ 返回值的例程，但 lapack_lite 中有一些例程，只需等待必要的开发工作。

示例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(Q, R))  # a does equal QR
True
>>> R2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(R, R2)  # mode='r' returns the same R as mode='full'
True
>>> a = np.random.normal(size=(3, 2, 2)) # Stack of 2 x 2 matrices as input
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> Q.shape
(3, 2, 2)
>>> R.shape
(3, 2, 2)
>>> np.allclose(a, np.matmul(Q, R))
True

说明 qr 的常见用例：求解最小二乘问题

以下数据中 y = y0 + mx 的最小二乘最佳 m 和 y0 是什么：{(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}。 (绘制这些点，你会发现应该是 y0 = 0, m = 1.) 答案可以通过求解超定矩阵方程 Ax = b 来得到，其中

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

如果 A = QR，使得 Q 是正交的（这总是可以通过 Gram-Schmidt 方法实现），那么 x = inv(R) * (Q.T) * b。 (然而，在 numpy 实践中，我们只是使用 lstsq.)

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 2, 2, 3])
>>> Q, R = np.linalg.qr(A)
>>> p = np.dot(Q.T, b)
>>> np.dot(np.linalg.inv(R), p)
array([  1.,   1.])
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