numpy.linalg.eig#

linalg.eig(a)[source]#

计算方阵的特征值和右特征向量。

参数:
a(…, M, M) 数组

将要计算其特征值和右特征向量的矩阵。

返回:
一个命名的元组，具有以下属性
eigenvalues(…, M) 数组

特征值，每个特征值根据其重数重复出现。特征值不一定是有序的。除非虚部为零（此时将转换为实数类型），否则结果数组将为复数类型。当 a 为实数时，结果特征值将是实数（虚部为 0）或成对的共轭复数。

eigenvectors(…, M, M) 数组

归一化（单位“长度”）的特征向量，使得列 eigenvectors[:,i] 是对应于特征值 eigenvalues[i] 的特征向量。

引发:
LinAlgError

如果特征值计算未收敛。

另请参阅

eigvals

非对称数组的特征值。

eigh

实对称或复厄米（共轭对称）数组的特征值和特征向量。

eigvalsh

实对称或复厄米（共轭对称）数组的特征值。

scipy.linalg.eig

SciPy 中类似的函数，还可以解决广义特征值问题。

scipy.linalg.schur

对于酉矩阵和其他非厄米正规矩阵的最佳选择。

备注

应用广播规则，有关详细信息，请参阅 numpy.linalg 文档。

此函数使用 _geev LAPACK 例程实现，该例程计算一般方阵的特征值和特征向量。

如果存在向量 v 使得 a @ v = w * v，则称数值 w 为 a 的特征值。因此，数组 a、eigenvalues 和 eigenvectors 满足方程 a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]，其中 \(i \in \{0,...,M-1\}\)。

数组 eigenvectors 可能不是满秩的，也就是说，某些列可能是线性相关的，尽管舍入误差可能会掩盖这一事实。如果特征值全部不同，则理论上特征向量是线性独立的，并且 a 可以通过使用 eigenvectors 的相似变换对角化，即 inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors 是对角矩阵。

对于非厄米正规矩阵，首选 SciPy 函数 scipy.linalg.schur，因为该函数保证矩阵 eigenvectors 是酉矩阵，而使用 eig 时则不然。Schur 分解产生的是上三角矩阵而不是对角矩阵，但对于正规矩阵，只需上三角矩阵的对角线部分，其余部分均为舍入误差。

最后，需要强调的是 eigenvectors 由 a 的“右”（即右侧）特征向量组成。满足 y.T @ a = z * y.T（针对某个数值 z）的向量 y 被称为 a 的“左”特征向量。通常情况下，矩阵的左特征向量和右特征向量不一定是彼此的（共轭）转置。

参考

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, Various pp.

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA

具有实特征值和实特征向量的（几乎）简单示例。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> eigenvalues
array([1. + 0j, 2. + 0j, 3. + 0j])
>>> eigenvectors.real
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有复特征值和复特征向量的实矩阵；注意特征值互为复共轭。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> eigenvalues
array([1.+1.j, 1.-1.j])
>>> eigenvectors
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

具有实特征值（但特征向量为复数）的复值矩阵；注意 a.conj().T == a，即 a 是厄米矩阵。

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([2.+0.j, 0.+0.j])
>>> eigenvectors
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

请注意舍入误差！

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([1.+0j, 1.+0j])
>>> eigenvectors.real
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])
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