numpy.linalg.eig#
- linalg.eig(a)[source]#
计算方阵的特征值和右特征向量。
- 参数:
- a(…, M, M) 数组
将计算其特征值和右特征向量的矩阵
- 返回值:
- 一个命名元组,包含以下属性
- eigenvalues(…, M) 数组
特征值,每个特征值根据其重数重复。特征值不一定是有序的。生成的数组将为复数类型,除非虚部为零,在这种情况下它将被转换为实数类型。当 a 为实数时,生成的特征值将为实数(虚部为 0)或成共轭对出现
- eigenvectors(…, M, M) 数组
归一化(单位“长度”)的特征向量,使得列
eigenvectors[:,i]
是对应于特征值eigenvalues[i]
的特征向量。
- 引发:
- LinAlgError
如果特征值计算不收敛。
参见
eigvals
非对称数组的特征值。
eigh
实对称或复厄米特(共轭对称)数组的特征值和特征向量。
eigvalsh
实对称或复厄米特(共轭对称)数组的特征值。
scipy.linalg.eig
SciPy 中的类似函数,它还求解广义特征值问题。
scipy.linalg.schur
对于酉矩阵和其他非厄米特正规矩阵的最佳选择。
注释
版本 1.8.0 中的新功能。
广播规则适用,有关详细信息,请参阅
numpy.linalg
文档。这是使用
_geev
LAPACK 例程实现的,这些例程计算一般方阵的特征值和特征向量。如果存在向量 v 使得
a @ v = w * v
,则数字 w 是 a 的特征值。因此,数组 a、eigenvalues 和 eigenvectors 满足方程a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]
,其中 \(i \in \{0,...,M-1\}\)。数组 eigenvectors 可能不是最大秩,也就是说,某些列可能是线性相关的,尽管舍入误差可能会掩盖这一事实。如果所有特征值都不同,那么理论上特征向量是线性无关的,并且 a 可以通过使用 eigenvectors 进行相似变换进行对角化,即
inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors
是对角矩阵。对于非厄米特正规矩阵,SciPy 函数
scipy.linalg.schur
是首选,因为矩阵 eigenvectors 保证是酉矩阵,而使用eig
时并非如此。Schur 分解产生一个上三角矩阵而不是对角矩阵,但对于正规矩阵,只需要上三角矩阵的对角线,其余的是舍入误差。最后,需要强调的是,eigenvectors 包含 a 的右(如右手侧)特征向量。满足
y.T @ a = z * y.T
(对于某个数字 z)的向量 y 称为 a 的左特征向量,并且通常,矩阵的左特征向量和右特征向量不一定是彼此的(可能是共轭)转置。参考文献
G. Strang,《线性代数及其应用》,第 2 版,佛罗里达州奥兰多,学术出版社,1980 年,各页。
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy import linalg as LA
具有实数特征值和特征向量的(几乎)平凡示例。
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3))) >>> eigenvalues array([1., 2., 3.]) >>> eigenvectors array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]])
拥有复数特征值和特征向量的实数矩阵;请注意,特征值彼此是复共轭的。
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]])) >>> eigenvalues array([1.+1.j, 1.-1.j]) >>> eigenvectors array([[0.70710678+0.j , 0.70710678-0.j ], [0. -0.70710678j, 0. +0.70710678j]])
具有实数特征值(但复数特征向量)的复数值矩阵;请注意
a.conj().T == a
,即 a 是厄米特矩阵。>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]]) >>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a) >>> eigenvalues array([2.+0.j, 0.+0.j]) >>> eigenvectors array([[ 0. +0.70710678j, 0.70710678+0.j ], # may vary [ 0.70710678+0.j , -0. +0.70710678j]])
注意舍入误差!
>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]]) >>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9 >>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a) >>> eigenvalues array([1., 1.]) >>> eigenvectors array([[1., 0.], [0., 1.]])