numpy.linalg.eigh#
- linalg.eigh(a, UPLO='L')[source]#
返回复厄米特(共轭对称)或实对称矩阵的特征值和特征向量。
返回两个对象,一个包含 a 的特征值的 1-D 数组,以及一个对应特征向量的 2-D 方阵或矩阵(取决于输入类型)(在列中)。
- 参数:
- a(…, M, M) 数组
需要计算其特征值和特征向量的厄米特或实对称矩阵。
- UPLO{‘L’, ‘U’}, 可选
指定计算是使用 a 的下三角部分('L',默认)还是上三角部分('U')。无论此值如何,在计算中仅考虑对角线的实部以保持厄米特矩阵的概念。因此,对角线的虚部将始终被视为零。
- 返回:
- 一个具有以下属性的命名元组
- eigenvalues(…, M) ndarray
特征值按升序排列,每个特征值根据其重数重复。
- eigenvectors{(…, M, M) ndarray, (…, M, M) matrix}
列
eigenvectors[:, i]
是对应于特征值eigenvalues[i]
的归一化特征向量。如果 a 是矩阵对象,则将返回矩阵对象。
- 引发:
- LinAlgError
如果特征值计算不收敛。
另请参阅
eigvalsh
实对称或复厄米特(共轭对称)数组的特征值。
eig
非对称数组的特征值和右特征向量。
eigvals
非对称数组的特征值。
scipy.linalg.eigh
SciPy 中的类似函数(但也求解广义特征值问题)。
备注
版本 1.8.0 中的新功能。
广播规则适用,有关详细信息,请参阅
numpy.linalg
文档。特征值/特征向量使用 LAPACK 例程
_syevd
、_heevd
计算。实对称或复厄米特矩阵的特征值始终为实数。 [1] 特征向量(列)数组 eigenvalues 是酉的,并且 a、eigenvalues 和 eigenvectors 满足方程
dot(a, eigenvectors[:, i]) = eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i]
。参考文献
[1]G. Strang,线性代数及其应用,第 2 版,奥兰多,佛罗里达州,学术出版社,1980 年,第 222 页。
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy import linalg as LA >>> a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]]) >>> a array([[ 1.+0.j, -0.-2.j], [ 0.+2.j, 5.+0.j]]) >>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(a) >>> eigenvalues array([0.17157288, 5.82842712]) >>> eigenvectors array([[-0.92387953+0.j , -0.38268343+0.j ], # may vary [ 0. +0.38268343j, 0. -0.92387953j]])
>>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 0]) - ... eigenvalues[0] * eigenvectors[:, 0]) # verify 1st eigenval/vec pair array([5.55111512e-17+0.0000000e+00j, 0.00000000e+00+1.2490009e-16j]) >>> (np.dot(a, eigenvectors[:, 1]) - ... eigenvalues[1] * eigenvectors[:, 1]) # verify 2nd eigenval/vec pair array([0.+0.j, 0.+0.j])
>>> A = np.matrix(a) # what happens if input is a matrix object >>> A matrix([[ 1.+0.j, -0.-2.j], [ 0.+2.j, 5.+0.j]]) >>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eigh(A) >>> eigenvalues array([0.17157288, 5.82842712]) >>> eigenvectors matrix([[-0.92387953+0.j , -0.38268343+0.j ], # may vary [ 0. +0.38268343j, 0. -0.92387953j]])
>>> # demonstrate the treatment of the imaginary part of the diagonal >>> a = np.array([[5+2j, 9-2j], [0+2j, 2-1j]]) >>> a array([[5.+2.j, 9.-2.j], [0.+2.j, 2.-1.j]]) >>> # with UPLO='L' this is numerically equivalent to using LA.eig() with: >>> b = np.array([[5.+0.j, 0.-2.j], [0.+2.j, 2.-0.j]]) >>> b array([[5.+0.j, 0.-2.j], [0.+2.j, 2.+0.j]]) >>> wa, va = LA.eigh(a) >>> wb, vb = LA.eig(b) >>> wa array([1., 6.]) >>> wb array([6.+0.j, 1.+0.j]) >>> va array([[-0.4472136 +0.j , -0.89442719+0.j ], # may vary [ 0. +0.89442719j, 0. -0.4472136j ]]) >>> vb array([[ 0.89442719+0.j , -0. +0.4472136j], [-0. +0.4472136j, 0.89442719+0.j ]])