numpy.cov#

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)[source]#

根据数据和权重估计协方差矩阵。

协方差表示两个变量共同变化的程度。如果我们检查 N 维样本,\(X = [x_1, x_2, ... x_N]^T\),则协方差矩阵元素 \(C_{ij}\)\(x_i\)\(x_j\) 的协方差。元素 \(C_{ii}\)\(x_i\) 的方差。

有关算法概述,请参见注释。

参数:
marray_like

包含多个变量和观测值的 1 维或 2 维数组。 m 的每一行表示一个变量,每一列表示所有这些变量的一个观测值。另请参见下面的 rowvar

yarray_like,可选

另一组变量和观测值。 y 的形式与 m 相同。

rowvarbool,可选

如果 rowvar 为 True(默认值),则每一行表示一个变量,列中包含观测值。否则,关系将被转置:每一列表示一个变量,而行包含观测值。

biasbool,可选

默认归一化 (False) 为 (N - 1),其中 N 是给定的观测值数量(无偏估计)。如果 bias 为 True,则归一化值为 N。这些值可以通过在 numpy 版本 >= 1.5 中使用关键字 ddof 来覆盖。

ddofint,可选

如果非 None,则覆盖 bias 隐含的默认值。请注意,即使同时指定了 fweightsaweightsddof=1 也会返回无偏估计,而 ddof=0 会返回简单平均值。有关详细信息,请参见注释。默认值为 None

版本 1.5 中的新内容。

fweightsarray_like,int,可选

整数频率权重的 1 维数组;每个观测向量应重复的次数。

版本 1.10 中的新内容。

aweightsarray_like,可选

观测向量权重的 1 维数组。这些相对权重通常对于被认为“重要”的观测值较大,而对于被认为不太“重要”的观测值较小。如果 ddof=0,则权重数组可用于为观测向量分配概率。

版本 1.10 中的新内容。

dtype数据类型,可选

结果的数据类型。默认情况下,返回的数据类型将至少具有 numpy.float64 精度。

版本 1.20 中的新内容。

返回值:
outndarray

变量的协方差矩阵。

另请参见

corrcoef

归一化协方差矩阵

注释

假设观测值位于观测数组 m 的列中,并为简洁起见,令 f = fweightsa = aweights。计算加权协方差的步骤如下

>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64)
>>> f = np.arange(10) * 2
>>> a = np.arange(10) ** 2.
>>> ddof = 1
>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

请注意,当 a == 1 时,归一化因子 v1 / (v1**2 - ddof * v2) 将变为 1 / (np.sum(f) - ddof),这正是它应该有的样子。

示例

>>> import numpy as np

考虑两个变量,\(x_0\)\(x_1\),它们完全相关,但方向相反

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

请注意 \(x_0\) 如何增加而 \(x_1\) 如何减少。协方差矩阵清楚地显示了这一点

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

请注意元素 \(C_{0,1}\),它显示了 \(x_0\)\(x_1\) 之间的相关性,它是负数。

此外,请注意 xy 如何组合

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> np.cov(X)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x, y)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x)
array(11.71)