numpy.cov#
- numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)[source]#
根据数据和权重估计协方差矩阵。
协方差表示两个变量共同变化的程度。如果我们检查 N 维样本,\(X = [x_1, x_2, ... x_N]^T\),则协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差。元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差。
有关算法概述,请参见注释。
- 参数:
- marray_like
包含多个变量和观测值的 1 维或 2 维数组。 m 的每一行表示一个变量,每一列表示所有这些变量的一个观测值。另请参见下面的 rowvar。
- yarray_like,可选
另一组变量和观测值。 y 的形式与 m 相同。
- rowvarbool,可选
如果 rowvar 为 True(默认值),则每一行表示一个变量,列中包含观测值。否则,关系将被转置:每一列表示一个变量,而行包含观测值。
- biasbool,可选
默认归一化 (False) 为
(N - 1)
,其中N
是给定的观测值数量(无偏估计)。如果 bias 为 True,则归一化值为N
。这些值可以通过在 numpy 版本 >= 1.5 中使用关键字ddof
来覆盖。- ddofint,可选
如果非
None
,则覆盖 bias 隐含的默认值。请注意,即使同时指定了 fweights 和 aweights,ddof=1
也会返回无偏估计,而ddof=0
会返回简单平均值。有关详细信息,请参见注释。默认值为None
。版本 1.5 中的新内容。
- fweightsarray_like,int,可选
整数频率权重的 1 维数组;每个观测向量应重复的次数。
版本 1.10 中的新内容。
- aweightsarray_like,可选
观测向量权重的 1 维数组。这些相对权重通常对于被认为“重要”的观测值较大,而对于被认为不太“重要”的观测值较小。如果
ddof=0
,则权重数组可用于为观测向量分配概率。版本 1.10 中的新内容。
- dtype数据类型,可选
结果的数据类型。默认情况下,返回的数据类型将至少具有
numpy.float64
精度。版本 1.20 中的新内容。
- 返回值:
- outndarray
变量的协方差矩阵。
另请参见
corrcoef
归一化协方差矩阵
注释
假设观测值位于观测数组 m 的列中,并为简洁起见,令
f = fweights
和a = aweights
。计算加权协方差的步骤如下>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64) >>> f = np.arange(10) * 2 >>> a = np.arange(10) ** 2. >>> ddof = 1 >>> w = f * a >>> v1 = np.sum(w) >>> v2 = np.sum(w * a) >>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1 >>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)
请注意,当
a == 1
时,归一化因子v1 / (v1**2 - ddof * v2)
将变为1 / (np.sum(f) - ddof)
,这正是它应该有的样子。示例
>>> import numpy as np
考虑两个变量,\(x_0\) 和 \(x_1\),它们完全相关,但方向相反
>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T >>> x array([[0, 1, 2], [2, 1, 0]])
请注意 \(x_0\) 如何增加而 \(x_1\) 如何减少。协方差矩阵清楚地显示了这一点
>>> np.cov(x) array([[ 1., -1.], [-1., 1.]])
请注意元素 \(C_{0,1}\),它显示了 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间的相关性,它是负数。
此外,请注意 x 和 y 如何组合
>>> x = [-2.1, -1, 4.3] >>> y = [3, 1.1, 0.12] >>> X = np.stack((x, y), axis=0) >>> np.cov(X) array([[11.71 , -4.286 ], # may vary [-4.286 , 2.144133]]) >>> np.cov(x, y) array([[11.71 , -4.286 ], # may vary [-4.286 , 2.144133]]) >>> np.cov(x) array(11.71)