numpy.cov

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)

根据数据和权重估计协方差矩阵。

协方差表示两个变量共同变化的程度。如果我们检查 N 维样本，\(X = [x_1, x_2, ... x_N]^T\)，则协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差。元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差。

有关算法概述，请参见注释。

参数：

marray_like

包含多个变量和观测值的 1 维或 2 维数组。 m 的每一行表示一个变量，每一列表示所有这些变量的一个观测值。另请参见下面的 rowvar。

yarray_like，可选

另一组变量和观测值。 y 的形式与 m 相同。

rowvarbool，可选

如果 rowvar 为 True（默认值），则每一行表示一个变量，列中包含观测值。否则，关系将被转置：每一列表示一个变量，而行包含观测值。

biasbool，可选

默认归一化 (False) 为 (N - 1)，其中 N 是给定的观测值数量（无偏估计）。如果 bias 为 True，则归一化值为 N。这些值可以通过在 numpy 版本 >= 1.5 中使用关键字 ddof 来覆盖。

ddofint，可选

如果非 None，则覆盖 bias 隐含的默认值。请注意，即使同时指定了 fweights 和 aweights，ddof=1 也会返回无偏估计，而 ddof=0 会返回简单平均值。有关详细信息，请参见注释。默认值为 None。

版本 1.5 中的新内容。

fweightsarray_like，int，可选

整数频率权重的 1 维数组；每个观测向量应重复的次数。

版本 1.10 中的新内容。

aweightsarray_like，可选

观测向量权重的 1 维数组。这些相对权重通常对于被认为“重要”的观测值较大，而对于被认为不太“重要”的观测值较小。如果 ddof=0，则权重数组可用于为观测向量分配概率。

版本 1.10 中的新内容。

dtype数据类型，可选

结果的数据类型。默认情况下，返回的数据类型将至少具有 numpy.float64 精度。

版本 1.20 中的新内容。

返回值：

outndarray

变量的协方差矩阵。

另请参见

corrcoef

归一化协方差矩阵

注释

假设观测值位于观测数组 m 的列中，并为简洁起见，令 f = fweights 和 a = aweights。计算加权协方差的步骤如下

>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64)
>>> f = np.arange(10) * 2
>>> a = np.arange(10) ** 2.
>>> ddof = 1
>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

请注意，当 a == 1 时，归一化因子 v1 / (v1**2 - ddof * v2) 将变为 1 / (np.sum(f) - ddof)，这正是它应该有的样子。

示例

>>> import numpy as np

考虑两个变量，\(x_0\) 和 \(x_1\)，它们完全相关，但方向相反

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

请注意 \(x_0\) 如何增加而 \(x_1\) 如何减少。协方差矩阵清楚地显示了这一点

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

请注意元素 \(C_{0,1}\)，它显示了 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间的相关性，它是负数。

此外，请注意 x 和 y 如何组合

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> np.cov(X)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x, y)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x)
array(11.71)