numpy.polynomial.legendre.legfit#

polynomial.legendre.legfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[source]#

将勒让德级数拟合到数据的最小二乘拟合。

返回度数为 deg 的勒让德级数的系数，该级数是对给定在点 x 处的数据值 y 的最小二乘拟合。如果 y 是 1-D，则返回的系数也将是 1-D。如果 y 是 2-D，则执行多个拟合，每个 y 列对应一个拟合，并将得到的系数存储在 2-D 返回值的相应列中。拟合的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 为 deg。

参数:

xarray_like，形状 (M,): M 个样本点的 x 坐标 (x[i], y[i])。
yarray_like，形状 (M,) 或 (M, K): 样本点的 y 坐标。通过传递包含每个列一个数据集的 2D 数组，可以一次拟合共享相同 x 坐标的多个样本点数据集。
degint 或 1-D array_like: 拟合多项式的度数。如果 deg 是一个单个整数，则拟合中将包含所有直到并包括 deg 项的项。对于 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用指定要包含的项的度的整数列表代替。
rcondfloat，可选: 拟合的相对条件数。相对于最大奇异值的比值小于此值的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。
fullbool，可选: 确定返回值性质的开关。当它为 False（默认值）时，只返回系数；当它为 True 时，还返回来自奇异值分解的诊断信息。
warray_like，形状 (M,)，可选: 权重。如果非 None，则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，权重应选择使 w[i]*y[i] 的乘积的误差都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。

版本 1.5.0 中的新增功能。

返回:

coefndarray，形状 (M,) 或 (M, K)

从低到高排序的勒让德系数。如果 y 是 2-D，则 y 的第 k 列中的数据的系数位于第 k 列。如果 deg 指定为列表，则拟合中未包含的项的系数在返回的 coef 中设置为零。

[residuals, rank, singular_values, rcond]list

这些值只有在 full == True 时才会返回

有关更多详细信息，请参见 numpy.linalg.lstsq。

警告:

RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。只有在 full == False 时才会发出警告。可以通过以下方法关闭警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参见

备注

该解是使加权平方误差之和最小化的勒让德级数 p 的系数

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 为权重。通过建立以下（通常是）超定矩阵方程来解决此问题

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪范德蒙德矩阵，c 是要解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解来求解该方程。

如果 V 的一些奇异值非常小，以至于被忽略，则会发出 RankWarning。这意味着系数值可能无法很好地确定。使用低阶拟合通常可以消除警告。还可以将 rcond 参数设置为小于其默认值的值，但得到的拟合可能是虚假的，并且可能受到舍入误差的较大影响。

使用勒让德级数进行的拟合通常比使用幂级数进行的拟合条件更好，但很大程度上取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果拟合质量不够好，则样条可能是一个不错的替代方案。

参考文献

[1]