numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
将多项式拟合到数据的最小二乘法。
返回一个 deg 次多项式的系数，该多项式是对给定点 x 处的数据值 y 的最小二乘拟合。如果 y 是一维的，则返回的系数也将是一维的。如果 y 是二维的，则进行多次拟合，每次拟合对应 y 的每一列，并且结果系数存储在二维返回的相应列中。拟合的多项式形式为
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 是 deg。
- 参数:
- xarray_like，形状 (M,)
M 个样本（数据）点的 x 坐标
(x[i], y[i])。- yarray_like，形状 (M,) 或 (M, K)
样本点的 y 坐标。可以通过传入一个二维数组 y，其中每列包含一个数据集，通过一次调用
polyfit，可以（独立地）拟合多个共享相同 x 坐标的样本点集。- degint 或 1-D array_like
拟合多项式的次数。如果 deg 是单个整数，则拟合中包含直到并包括第 deg 项的所有项。对于 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用指定要包含的项的次数的整数列表。
- rcondfloat，可选
拟合的相对条件数。相对于最大奇异值，小于 rcond 的奇异值将被忽略。默认值为
len(x)*eps，其中 eps 是平台浮点类型的相对精度，大多数情况下约为 2e-16。- fullbool，可选
开关，确定返回值的性质。当
False（默认值）时，仅返回系数；当True时，还会返回奇异值分解（用于求解拟合的矩阵方程）的诊断信息。- warray_like，形状 (M,)，可选
权重。如果不是 None，则权重
w[i]应用于x[i]处的未平方残差y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择权重，以便乘积w[i]*y[i]的误差都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，请使用w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。
- 返回:
- coefndarray，形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)
多项式系数，从低到高排序。如果 y 是二维的，则 coef 的第 k 列中的系数表示对 y 的第 k 列中的数据进行的多项式拟合。
- [residuals, rank, singular_values, rcond]list
这些值仅在
full == True时返回residuals – 最小二乘拟合的平方残差之和
rank – 缩放的范德蒙矩阵的数值秩
singular_values – 缩放的范德蒙矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值。
有关更多详细信息，请参阅
numpy.linalg.lstsq。
- 引发:
- RankWarning
如果最小二乘拟合中的矩阵秩亏，则引发。仅当
full == False时才会引发警告。可以通过以下方式关闭警告>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
另请参阅
注释
该解是使加权平方误差之和最小化的多项式 p 的系数
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重。这个问题通过建立（通常）超定的矩阵方程来解决
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵，c 是要解的系数，w 是权重，而 y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解来求解该方程。
如果 V 的某些奇异值太小而被忽略（并且
full==False），则将引发RankWarning。这意味着系数的值可能无法很好地确定。拟合较低阶的多项式通常会消除警告（但可能不是您想要的；如果您有独立的原因选择不起作用的次数，则可能必须：a) 重新考虑这些原因，和/或 b) 重新考虑数据的质量）。rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值，但是所得的拟合可能是虚假的，并且可能具有来自舍入误差的较大贡献。使用双精度进行的多项式拟合在（多项式）次数约为 20 时往往会“失败”。使用切比雪夫或勒让德级数的拟合通常条件更好，但是很大程度上仍然取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果拟合质量不佳，则样条可能是很好的替代方法。
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
没有添加噪声的相同结果
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]