numpy.polyfit#

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)[source]#

最小二乘多项式拟合。

注意

这是旧多项式 API 的一部分。从 1.4 版本开始，推荐使用 numpy.polynomial 中定义的新多项式 API。可以在迁移指南中找到差异的总结。

将度数为 deg 的多项式 p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] 拟合到点 (x, y)。返回系数向量 p，该向量使度数为 deg、deg-1、… 0 的平方误差最小。

对于新的代码，推荐使用 Polynomial.fit 类方法，因为它在数值上更稳定。有关更多信息，请参见该方法的文档。

参数：

xarray_like，形状 (M，): M 个样本点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标。
yarray_like，形状 (M，) 或 (M，K): 样本点的 y 坐标。通过传递包含每个列一个数据集的二维数组，可以一次拟合共享相同 x 坐标的多个样本点数据集。
degint: 拟合多项式的度数
rcondfloat，可选: 拟合的相对条件数。相对于最大奇异值的较小奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。
fullbool，可选: 确定返回值性质的开关。当它为 False（默认值）时，只返回系数；当它为 True 时，还返回来自奇异值分解的诊断信息。
warray_like，形状 (M，)，可选: 权重。如果非 None，则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，权重应选择为使 w[i]*y[i] 的误差乘积都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。
covbool 或 str，可选: 如果给出且不为 False，则不仅返回估计值，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差按 chi2/dof 进行缩放，其中 dof = M - (deg + 1)，即，除非在相对意义上，否则假定权重不可靠，并且所有内容都按比例缩放，以使约化 chi2 为 1。如果 cov='unscaled'，则会省略此缩放，这与权重为 w = 1/sigma 的情况相关，其中 sigma 已知是方差的不确定性的可靠估计。

返回值：

pndarray，形状 (deg + 1，) 或 (deg + 1，K)

多项式系数，最高幂在前。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的系数位于 p[:,k] 中。

残差、秩、奇异值、rcond

仅当 full == True 时才返回这些值

残差 – 最小二乘拟合的平方残差之和
秩 – 缩放后的范德蒙德系数矩阵的有效秩
系数矩阵
奇异值 – 缩放后的范德蒙德系数矩阵的奇异值
系数矩阵
rcond – rcond 的值。

有关更多详细信息，请参见 numpy.linalg.lstsq。

Vndarray，形状 (deg + 1, deg + 1) 或 (deg + 1, deg + 1, K)

仅当 full == False 且 cov == True 时才出现。多项式系数估计的协方差矩阵。该矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的协方差矩阵位于 V[:,:,k] 中

警告：

RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。只有当 full == False 时才会引发警告。

可以通过以下方式关闭警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参见

polyval: 计算多项式值。
linalg.lstsq: 计算最小二乘拟合。
scipy.interpolate.UnivariateSpline: 计算样条拟合。

备注

该解最小化平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在方程中

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数 p 的系数矩阵是范德蒙德矩阵。

当最小二乘拟合条件很差时，polyfit 会发出 RankWarning 警告。这意味着由于数值误差，最佳拟合没有很好地定义。可以通过降低多项式次数或将 x 替换为 x - x.mean() 来改进结果。rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值，但是由此产生的拟合可能是虚假的：包含来自小奇异值的影响会给结果增加数值噪声。

请注意，当多项式的次数很大或样本点的区间中心位置不佳时，拟合多项式系数本身就具有很差的条件数。在这些情况下，应始终检查拟合的质量。当多项式拟合不令人满意时，样条曲线可能是一个不错的替代方案。

参考文献

[1]

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]

维基百科，“多项式插值”，https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

示例

>>> import numpy as np
>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 对象处理多项式很方便。

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能会剧烈振荡。

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

图示

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()