numpy.polyfit#

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)[source]#

最小二乘多项式拟合。

注意

这构成了旧多项式 API 的一部分。从 1.4 版开始，建议使用在 numpy.polynomial 中定义的新多项式 API。有关差异的摘要，请参阅过渡指南。

将度数为 deg 的多项式 p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] 拟合到点 (x, y)。返回系数向量 p，它使顺序为 deg、deg-1、… 0 的平方误差最小。

建议在新代码中使用 Polynomial.fit 类方法，因为它在数值上更稳定。有关更多信息，请参阅该方法的文档。

参数：:

x类数组，形状 (M,): M 个样本点的 x 坐标 (x[i], y[i])。
y类数组，形状 (M,) 或 (M, K): 样本点的 y 坐标。通过传入包含每列一个数据集的二维数组，可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的样本点数据集。
deg整数: 拟合多项式的次数
rcond浮点数，可选: 拟合的相对条件数。相对于最大奇异值的相对奇异值小于此值的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。
full布尔值，可选: 确定返回值性质的开关。当它为 False（默认值）时，只返回系数，当为 True 时，还返回来自奇异值分解的诊断信息。
w类数组，形状 (M,)，可选: 权重。如果非空，则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，权重的选择应使 w[i]*y[i] 的乘积误差都具有相同的方差。使用逆方差加权时，使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。
cov布尔值或字符串，可选: 如果给出且不为 False，则不仅返回估计值，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差按 chi2/dof 进行缩放，其中 dof = M - (deg + 1)，即，假设权重不可靠，除非在相对意义上，并且所有内容都按比例缩放，以便简化的 chi2 为 1。如果 cov='unscaled'，则省略此缩放，这与权重为 w = 1/sigma 且 sigma 已知是误差可靠估计的情况相关。

返回值：:

pndarray，形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)

多项式系数，最高幂优先。如果 y 为二维数组，则第 k 个数据集的系数在 p[:,k] 中。

residuals, rank, singular_values, rcond

这些值仅在 full == True 时返回

residuals – 最小二乘拟合的平方残差之和
rank – 缩放的范德蒙德矩阵的有效秩
coefficient matrix – 缩放的范德蒙德矩阵的系数矩阵
singular_values – 缩放的范德蒙德矩阵的奇异值
coefficient matrix – 缩放的范德蒙德矩阵的系数矩阵
rcond – rcond 的值。

有关更多详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq。

Vndarray，形状 (deg + 1, deg + 1) 或 (deg + 1, deg + 1, K)

仅在 full == False 且 cov == True 时出现。多项式系数估计的协方差矩阵。该矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的协方差矩阵在 V[:,:,k] 中

警告：:

RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。仅当 full == False 时，才会发出此警告。

可以通过以下方法关闭警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参阅

polyval: 计算多项式值。
linalg.lstsq: 计算最小二乘拟合。
scipy.interpolate.UnivariateSpline: 计算样条拟合。

注释

该解最小化平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在以下等式中

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数 p 的系数矩阵是范德蒙德矩阵。

polyfit 当最小二乘拟合条件很差时，会发出 RankWarning。这意味着由于数值误差，最佳拟合没有得到很好的定义。可以通过降低多项式次数或将 x 替换为 x - x.mean() 来改进结果。也可以将 rcond 参数设置为小于其默认值的值，但由此产生的拟合可能很虚假：包含来自小奇异值的影响会为结果添加数值噪声。

请注意，当多项式的次数很大或样本点的间隔中心不佳时，拟合多项式系数本质上条件很差。在这种情况下，应始终检查拟合的质量。当多项式拟合不令人满意时，样条可能是很好的替代方案。

参考文献

[1]

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]

维基百科，“多项式插值”，https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

示例

>>> import numpy as np
>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 对象来处理多项式很方便

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能会剧烈振荡

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

插图

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()