numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d#

polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, deg)[源代码]#

给定次数的伪范德蒙德矩阵。

返回由 deg 和采样点 (x, y) 定义的伪范德蒙德矩阵。伪范德蒙德矩阵定义为

\[V[..., (deg[1] + 1)*i + j] = x^i * y^j,\]

其中 0 <= i <= deg[0] 且 0 <= j <= deg[1]。 V 的前导索引是对点 (x, y) 的索引，最后一个索引编码了 x 和 y 的幂次。

如果 V = polyvander2d(x, y, [xdeg, ydeg])，那么 V 的列对应于形状为 (xdeg + 1, ydeg + 1) 的二维系数数组 c 的元素，顺序如下：

\[c_{00}, c_{01}, c_{02} ... , c_{10}, c_{11}, c_{12} ...\]

并且 np.dot(V, c.flat) 和 polyval2d(x, y, c) 将相同（在舍入误差范围内）。这种等价性对于最小二乘拟合和评估大量相同次数和采样点的二维多项式都很有用。

参数:

x, y类数组: 点坐标数组，全部形状相同。数据类型将根据是否有复数元素转换为 float64 或 complex128。标量将被转换为一维数组。
deg整数列表: 形式为 [x_deg, y_deg] 的最大次数列表。

返回:

vander2dndarray: 返回矩阵的形状为 x.shape + (order,)，其中 \(order = (deg[0]+1)*(deg([1]+1)\)。数据类型将与转换后的 x 和 y 相同。

另请参阅

polyvander, polyvander3d, polyval2d, polyval3d

示例

>>> import numpy as np

次数为 [1, 2]，采样点为 x = [-1, 2] 和 y = [1, 3] 的二维伪范德蒙德矩阵如下：

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.array([-1, 2])
>>> y = np.array([1, 3])
>>> m, n = 1, 2
>>> deg = np.array([m, n])
>>> V = P.polyvander2d(x=x, y=y, deg=deg)
>>> V
array([[ 1.,  1.,  1., -1., -1., -1.],
       [ 1.,  3.,  9.,  2.,  6., 18.]])

我们可以验证对于任何 0 <= i <= m 和 0 <= j <= n 的列：

>>> i, j = 0, 1
>>> V[:, (deg[1]+1)*i + j] == x**i * y**j
array([ True,  True])

采样点 x 和次数 m 的（一维）范德蒙德矩阵是（二维）伪范德蒙德矩阵的一个特例，其中 y 点全部为零，次数为 [m, 0]。

>>> P.polyvander2d(x=x, y=0*x, deg=(m, 0)) == P.polyvander(x=x, deg=m)
array([[ True,  True],
       [ True,  True]])