numpy.polynomial.legendre.legfit#

polynomial.legendre.legfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[source]#

将勒让德级数进行最小二乘拟合到数据。

返回勒让德级数的系数，其次数为 deg，该级数是对在点 x 处给定的数据值 y 进行最小二乘拟合的结果。如果 y 是一维的，则返回的系数也将是一维的。如果 y 是二维的，则会进行多次拟合，对 y 的每一列进行一次拟合，结果系数存储在二维返回值的相应列中。拟合后的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 为 deg。

参数:

x类数组，形状 (M,): M 个样本点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标。
y类数组，形状 (M,) 或 (M, K): 样本点的 y 坐标。通过传入一个二维数组（每列包含一个数据集），可以一次性拟合共享相同 x 坐标的多个数据集。
deg整型或一维类数组: 拟合多项式的次数。如果 deg 是一个整数，则拟合中将包含直到并包括 deg 次的所有项。对于 NumPy 1.11.0 及更高版本，可以改用整数列表来指定要包含的项的次数。
rcond浮点型，可选: 拟合的相对条件数。小于此值（相对于最大奇异值）的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。
full布尔型，可选: 确定返回值性质的开关。当其为 False（默认值）时，只返回系数；当其为 True 时，还会返回奇异值分解的诊断信息。
w类数组，形状 (M,)，可选: 权重。如果不是 None，则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择权重是为了使乘积 w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，请使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。

返回:

coefndarray，形状 (M,) 或 (M, K)

勒让德系数，按从低到高顺序排列。如果 y 是二维的，则 y 的第 k 列数据的系数位于返回值的第 k 列。如果 deg 被指定为列表，则未包含在拟合中的项的系数在返回的 coef 中设置为零。

[residuals, rank, singular_values, rcond]列表

这些值仅在 full == True 时返回

更多详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq。

警告:

RankWarning

最小二乘拟合中的系数矩阵的秩不足。此警告仅在 full == False 时引发。可以通过以下方式关闭警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参阅

注释

解是勒让德级数 p 的系数，它使加权平方误差之和最小化

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是权重。这个问题通过建立（通常是）超定矩阵方程来解决：

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵，c 是待求解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解来求解此方程。

如果 V 的某些奇异值非常小以至于被忽略，则会发出 RankWarning 警告。这意味着系数的值可能确定性较差。使用较低阶的拟合通常可以消除此警告。rcond 参数也可以设置为小于其默认值，但由此产生的拟合可能是虚假的，并受到舍入误差的显著影响。

使用勒让德级数的拟合通常比使用幂级数的拟合具有更好的条件性，但这很大程度上取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果拟合质量不佳，样条函数可能是一个很好的替代方案。

参考

[1]