numpy.polynomial.laguerre.lagfit#

polynomial.laguerre.lagfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[source]#

将拉盖尔级数对数据进行最小二乘拟合。

返回一个度为 deg 的拉盖尔级数的系数，该级数是给定点 x 处数据值 y 的最小二乘拟合。如果 y 是一维的，返回的系数也将是一维的。如果 y 是二维的，则会进行多次拟合，y 的每一列对应一次拟合，结果系数存储在二维返回值的相应列中。拟合的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 为 deg。

参数:
x类数组，形状 (M,)

M 个样本点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标。

y类数组，形状 (M,) 或 (M, K)

样本点的 y 坐标。通过传入一个每列包含一个数据集的二维数组，可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的样本点数据集。

deg整型或一维类数组

拟合多项式的次数。如果 deg 是一个整数，则拟合中包含直至（包括） deg 次项的所有项。对于 NumPy 1.11.0 及更高版本，可以使用一个整数列表来指定要包含的项的次数。

rcond浮点型，可选

拟合的相对条件数。小于此值（相对于最大奇异值）的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。

full布尔型，可选

决定返回值性质的开关。当其为 False（默认值）时，只返回系数；当其为 True 时，还会返回来自奇异值分解的诊断信息。

w类数组，形状 (M,)，可选

权重。如果不是 None，权重 w[i] 应用于 x[i] 处未平方的残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择权重是为了使乘积 w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。

返回:
coefndarray，形状 (M,) 或 (M, K)

按从低到高顺序排列的拉盖尔系数。如果 y 是二维的，则 y 的第 k 列数据对应的系数位于返回值的第 k 列。

[residuals, rank, singular_values, rcond]列表

这些值仅在 full == True 时返回

  • residuals – 最小二乘拟合的残差平方和

  • rank – 缩放后的范德蒙德矩阵的数值秩

  • singular_values – 缩放后的范德蒙德矩阵的奇异值

  • rcond – rcond 的值。

更多详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq。

警告:
RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。此警告仅在 full == False 时发出。可以通过以下方式关闭警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参阅

numpy.polynomial.polynomial.polyfit
numpy.polynomial.legendre.legfit
numpy.polynomial.chebyshev.chebfit
numpy.polynomial.hermite.hermfit
numpy.polynomial.hermite_e.hermefit
lagval

评估拉盖尔级数。

lagvander

拉盖尔级数的伪范德蒙德矩阵。

lagweight

拉盖尔权重函数。

numpy.linalg.lstsq

从矩阵计算最小二乘拟合。

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合。

注释

该解决方案是拉盖尔级数 p 的系数，它使加权平方误差之和最小化

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是权重。这个问题通过建立（通常是）超定矩阵方程来解决

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪范德蒙德矩阵，c 是待求解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解来求解此方程。

如果 V 的某些奇异值非常小以至于被忽略，则会发出 RankWarning 警告。这意味着系数的值可能确定性较差。使用较低阶的拟合通常可以消除此警告。rcond 参数也可以设置为小于其默认值，但由此产生的拟合可能是不准确的，并受到舍入误差的显著影响。

当数据可以通过 sqrt(w(x)) * p(x) 近似时，使用拉盖尔级数进行拟合可能最为有用，其中 w(x) 是拉盖尔权重。在这种情况下，应将权重 sqrt(w(x[i])) 与数据值 y[i]/sqrt(w(x[i])) 一起使用。权重函数可作为 lagweight 使用。

参考文献

[1]

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.polynomial.laguerre import lagfit, lagval
>>> x = np.linspace(0, 10)
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> err = rng.normal(scale=1./10, size=len(x))
>>> y = lagval(x, [1, 2, 3]) + err
>>> lagfit(x, y, 2)
array([1.00578369, 1.99417356, 2.99827656]) # may vary