numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
对数据进行多项式的最小二乘拟合。
返回一个 deg 次多项式的系数，该多项式是给定点 x 处数据值 y 的最小二乘拟合。如果 y 是一维的，返回的系数也将是一维的。如果 y 是二维的，将进行多次拟合，对 y 的每一列进行一次拟合，结果系数存储在二维返回值的相应列中。拟合的多项式形式为
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 是 deg。
- 参数:
- xarray_like, 形状 (M,)
M 个样本（数据）点
(x[i], y[i])的 x 坐标。- yarray_like, 形状 (M,) 或 (M, K)
样本点的 y 坐标。通过为 y 传入一个每列包含一个数据集的二维数组，可以在一次
polyfit调用中（独立地）拟合多个共享相同 x 坐标的样本点集。- deg整数或一维 array_like
拟合多项式的次数。如果 deg 是一个整数，则拟合中包含直至（包括）deg 次的所有项。对于 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用一个整数列表来指定要包含的项的次数。
- rcond浮点数, 可选
拟合的相对条件数。小于 rcond 的奇异值，相对于最大的奇异值，将被忽略。默认值是
len(x)*eps，其中 eps 是平台浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。- full布尔值, 可选
确定返回值性质的开关。当为
False（默认值）时，仅返回系数；当为True时，还会返回奇异值分解（用于求解拟合的矩阵方程）的诊断信息。- warray_like, 形状 (M,), 可选
权重。如果不是 None，权重
w[i]适用于x[i]处的未平方残差y[i] - y_hat[i]。理想情况下，权重的选择应使乘积w[i]*y[i]的误差都具有相同的方差。使用逆方差加权时，使用w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。
- 返回:
- coefndarray, 形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)
多项式系数，按从低到高的顺序排列。如果 y 是二维的，则 coef 中第 k 列的系数表示对 y 的第 k 列数据进行的拟合多项式。
- [residuals, rank, singular_values, rcond]列表
这些值仅在
full == True时返回。residuals – 最小二乘拟合的平方残差之和
rank – 缩放的范德蒙德矩阵的数值秩
singular_values – 缩放的范德蒙德矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值。
更多详情，请参见
numpy.linalg.lstsq。
- 抛出:
- RankWarning
如果最小二乘拟合中的矩阵是秩亏的，则会抛出此警告。此警告仅在
full == False时抛出。可以通过以下方式关闭警告：>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
另请参见
注意
解是使加权平方误差之和最小的多项式 p 的系数
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重。通过建立（通常是）超定矩阵方程来解决此问题
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加权伪范德蒙德矩阵，c 是待求解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解来求解此方程。
如果 V 的某些奇异值太小而被忽略（且
full==False），则会抛出RankWarning。这意味着系数的值可能确定得不好。拟合较低次的多项式通常可以消除此警告（当然，这可能不是您想要的；如果您有独立的原因选择不起作用的次数，您可能需要：a) 重新考虑这些原因，和/或 b) 重新考虑数据的质量）。rcond 参数也可以设置为小于其默认值，但由此产生的拟合可能是伪造的，并且包含大量的舍入误差。使用双精度进行的多项式拟合在大约（多项式）20 次时会“失败”。使用切比雪夫或勒让德级数进行的拟合通常条件更好，但很大程度上仍取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果拟合质量不足，样条函数可能是一个很好的替代方案。
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
没有额外噪声的相同内容
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]