numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d#

polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, deg)[source]#

给定度数的伪范德蒙矩阵。

返回度数为 deg、采样点为 (x, y) 的伪范德蒙矩阵。伪范德蒙矩阵定义为

\[V[..., (deg[1] + 1)*i + j] = x^i * y^j,\]

其中 0 <= i <= deg[0] 且 0 <= j <= deg[1]。V 的前导索引对点 (x, y) 进行索引，最后一个索引编码 x 和 y 的幂次。

如果 V = polyvander2d(x, y, [xdeg, ydeg])，则 V 的列对应于形状为 (xdeg + 1, ydeg + 1) 的二维系数数组 c 的元素，顺序为

\[c_{00}, c_{01}, c_{02} ... , c_{10}, c_{11}, c_{12} ...\]

并且 np.dot(V, c.flat) 和 polyval2d(x, y, c) 在舍入误差范围内是相同的。这种等价性对于最小二乘拟合以及对相同度数和采样点的大量二维多项式进行求值都非常有用。

参数:

x, y类数组: 点坐标数组，形状相同。其 dtypes 将根据是否有任何元素是复数而转换为 float64 或 complex128。标量将转换为一维数组。
deg整数列表: 最大度数列表，形式为 [x_deg, y_deg]。

返回:

vander2dndarray: 返回矩阵的形状为 x.shape + (order,)，其中 \(order = (deg[0]+1)*(deg([1]+1)\)。dtype 将与转换后的 x 和 y 相同。

另请参阅

polyvander, polyvander3d, polyval2d, polyval3d

示例

>>> import numpy as np

度数为 [1, 2]、采样点为 x = [-1, 2] 和 y = [1, 3] 的二维伪范德蒙矩阵如下所示：

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.array([-1, 2])
>>> y = np.array([1, 3])
>>> m, n = 1, 2
>>> deg = np.array([m, n])
>>> V = P.polyvander2d(x=x, y=y, deg=deg)
>>> V
array([[ 1.,  1.,  1., -1., -1., -1.],
       [ 1.,  3.,  9.,  2.,  6., 18.]])

我们可以验证对于任何 0 <= i <= m 和 0 <= j <= n 的列。

>>> i, j = 0, 1
>>> V[:, (deg[1]+1)*i + j] == x**i * y**j
array([ True,  True])

采样点为 x、度数为 m 的（一维）范德蒙矩阵是（二维）伪范德蒙矩阵的一种特殊情况，其中 y 点全部为零，度数为 [m, 0]。

>>> P.polyvander2d(x=x, y=0*x, deg=(m, 0)) == P.polyvander(x=x, deg=m)
array([[ True,  True],
       [ True,  True]])