numpy.linalg.pinv#

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)[源代码]#

计算矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆。

使用奇异值分解 (SVD) 计算矩阵的广义逆，并包含所有“大”奇异值。

参数:

a(…, M, N) 数组类型: 要计算伪逆的矩阵或矩阵堆栈。
rcond(…) 浮点数组类型，可选: 小奇异值的截止值。小于或等于 rcond * largest_singular_value 的奇异值将被设置为零。此值会广播到矩阵堆栈。默认值: 1e-15。
hermitian布尔值，可选: 如果为 True，则假定 a 是厄米矩阵（如果为实值，则为对称矩阵），从而可以使用更高效的方法查找奇异值。默认为 False。
rtol(…) 浮点数组类型，可选: 与 rcond 相同，但它是 Array API 兼容的参数名。一次只能设置 rcond 或 rtol 中的一个。如果两者都未提供，则使用 NumPy 的 1e-15 默认值。如果传入 rtol=None，则使用 API 标准默认值。

2.0.0 版本新增。

返回值:

B(…, N, M) ndarray: a 的伪逆。如果 a 是 matrix 实例，则 B 也是。

引发:

LinAlgError: 如果 SVD 计算不收敛。

另请参阅

scipy.linalg.pinv: SciPy 中类似的函数。
scipy.linalg.pinvh: 计算厄米矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆。

注释

矩阵 A 的伪逆，记为 \(A^+\)，定义为：“‘求解’[最小二乘问题] \(Ax = b\) 的矩阵”，即，如果 \(\bar{x}\) 是该解，则 \(A^+\) 是满足 \(\bar{x} = A^+b\) 的矩阵。

可以证明，如果 \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) 是 A 的奇异值分解，那么 \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\)，其中 \(Q_{1,2}\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是一个由 A 的所谓奇异值组成的对角矩阵（通常后面跟着零），而 \(\Sigma^+\) 只是一个由 A 的奇异值的倒数组成的对角矩阵（同样后面跟着零）。 [1]

参考文献

[1]

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 第2版，佛罗里达州奥兰多，Academic Press, Inc.，1980年，第139-142页。

示例

以下示例检查 a * a+ * a == a 和 a+ * a * a+ == a+ 是否成立。

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True