numpy.linalg.matrix_rank#

linalg.matrix_rank(A, tol=None, hermitian=False, *, rtol=None)[source]#

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于 tol 的奇异值的数量。

参数:

A{(M,), (…, M, N)} 数组类型: 输入向量或矩阵堆栈。
tol(…) 数组类型, 浮点数, 可选: 低于此阈值的 SVD 值将被视为零。如果 tol 为 None，并且 S 是一个包含 M 的奇异值的数组，eps 是 S 数据类型的 epsilon 值，则 tol 将设置为 S.max() * max(M, N) * eps。
hermitian布尔值, 可选: 如果为 True，则假定 A 是 Hermitian 矩阵（实值时为对称矩阵），从而可以使用更高效的方法查找奇异值。默认为 False。
rtol(…) 数组类型, 浮点数, 可选: 相对容差分量的参数。一次只能设置 tol 或 rtol。默认为 max(M, N) * eps。

2.0.0 版本新增。

返回:

rank(…) 数组类型: A 的秩。

备注

检测秩亏缺的默认阈值是对 A 的奇异值大小进行的测试。默认情况下，我们将小于 S.max() * max(M, N) * eps 的奇异值标识为表示秩亏缺（符号如上定义）。这是 MATLAB 使用的算法 [1]。它也出现在 Numerical recipes 中关于线性最小二乘的 SVD 解决方案的讨论中 [2]。

此默认阈值旨在检测秩亏缺，并考虑了 SVD 计算的数值误差。假设 A 中有一列是 A 中其他列的精确（在浮点数意义上）线性组合。通常，对 A 进行 SVD 计算不会产生一个严格等于 0 的奇异值：最小 SVD 值与 0 的任何差异都将由 SVD 计算中的数值不精确性引起。我们对小 SVD 值设置的阈值考虑了这种数值不精确性，默认阈值将检测到此类数值秩亏缺。即使 A 的某些列的线性组合不严格等于 A 的另一列，而只是数值上非常接近，该阈值也可能声明矩阵 A 为秩亏缺。

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用。也可能存在其他阈值。例如，在 2007 年版的 Numerical recipes 的其他地方，有一个替代阈值为 S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.)。作者将此阈值描述为基于“预期舍入误差”（第 71 页）。

上述阈值处理 SVD 计算中的浮点舍入误差。但是，您可能对 A 中的误差来源有更多信息，这会使您考虑其他容差值来检测有效的秩亏缺。最有效的容差度量取决于您打算对矩阵执行的操作。例如，如果您的数据来自不确定测量，并且不确定性大于浮点 epsilon，则选择接近该不确定性的容差可能更合适。如果误差是绝对的而不是相对的，则容差可以是绝对的。

参考文献

[1]

MATLAB 参考文档，“Rank” https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

[2]

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling 和 B. P. Flannery, “Numerical Recipes (第3版)”, Cambridge University Press, 2007, 第 795 页。

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0