numpy.linalg.eig#

linalg.eig(a)[source]#

计算方阵的特征值和右特征向量。

参数:
a(…, M, M) 数组

将计算其特征值和右特征向量的矩阵。

返回:
一个具有以下属性的命名元组
eigenvalues(…, M) 数组

特征值，每个根据其重数重复。特征值不一定有序。结果数组将是复数类型，除非虚部为零，在这种情况下它将被转换为实数类型。当 a 是实数时，结果特征值将是实数（虚部为 0）或以共轭对的形式出现。

eigenvectors(…, M, M) 数组

归一化（单位“长度”）特征向量，其中列 eigenvectors[:,i] 是与特征值 eigenvalues[i] 对应的特征向量。

引发:
LinAlgError

如果特征值计算不收敛。

另请参阅

eigvals

非对称数组的特征值。

eigh

实对称或复共轭对称 (Hermitian) 数组的特征值和特征向量。

eigvalsh

实对称或复共轭对称 (Hermitian) 数组的特征值。

scipy.linalg.eig

SciPy 中类似的函数，也解决广义特征值问题。

scipy.linalg.schur

对于酉矩阵和其他非 Hermitian 正规矩阵的最佳选择。

备注

适用广播规则，详见 numpy.linalg 文档。

此函数使用 _geev LAPACK 例程实现，该例程计算一般方阵的特征值和特征向量。

如果存在一个向量 v 使得 a @ v = w * v，则数 w 是 a 的一个特征值。因此，数组 a、eigenvalues 和 eigenvectors 满足方程 a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]，其中 \(i \in \{0,...,M-1\}\)。

数组 eigenvectors 的秩可能不是最大，也就是说，某些列可能线性相关，尽管舍入误差可能会掩盖这一事实。如果所有特征值都不同，则理论上特征向量是线性独立的，并且 a 可以通过使用 eigenvectors 的相似变换进行对角化，即 inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors 是对角矩阵。

对于非 Hermitian 正规矩阵，推荐使用 SciPy 函数 scipy.linalg.schur，因为该函数的特征向量矩阵保证是酉矩阵，而使用 eig 则不然。Schur 分解生成的是一个上三角矩阵而不是对角矩阵，但对于正规矩阵，只需要上三角矩阵的对角线，其余部分是舍入误差。

最后，需要强调的是，eigenvectors 包含的是 a 的 右 (即右手侧) 特征向量。如果一个向量 y 满足 y.T @ a = z * y.T，则称其为 a 的 左 特征向量。通常，一个矩阵的左特征向量和右特征向量不一定是彼此的（可能共轭的）转置。

参考文献

G. Strang，《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications），第2版，奥兰多，佛罗里达，Academic Press, Inc.，1980年，多处。

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA

（几乎）微不足道的实特征值和特征向量示例。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> eigenvalues
array([1., 2., 3.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有复特征值和特征向量的实矩阵；请注意，这些特征值是彼此的复共轭。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> eigenvalues
array([1.+1.j, 1.-1.j])
>>> eigenvectors
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

具有实特征值（但复值特征向量）的复值矩阵；请注意 a.conj().T == a，即 a 是 Hermitian 矩阵。

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([2.+0.j, 0.+0.j])
>>> eigenvectors
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

注意舍入误差！

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([1., 1.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])
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