numpy.ma.polyfit#

ma.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)[source]#

最小二乘多项式拟合。

注意

这属于旧的多项式 API 的一部分。自 1.4 版本以来，更推荐使用 numpy.polynomial 中定义的新多项式 API。可以在过渡指南中找到差异的摘要。

将 deg 次多项式 p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] 拟合到点 (x, y)。返回一个系数向量 p，该向量以 deg, deg-1, … 0 的顺序最小化平方误差。

建议在新代码中使用 Polynomial.fit 类方法，因为它在数值上更稳定。有关更多信息，请参阅该方法的文档。

参数:
x类数组, 形状 (M,)

M 个采样点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标。

y类数组, 形状 (M,) 或 (M, K)

采样点的 y 坐标。通过传入一个每列包含一个数据集的二维数组，可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的采样点数据集。

deg整型

拟合多项式的次数

rcond浮点型, 可选

拟合的相对条件数。小于最大奇异值相对值的奇异值将被忽略。默认值是 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。

full布尔型, 可选

确定返回值的性质的开关。当为 False（默认值）时，只返回系数；当为 True 时，还会返回奇异值分解的诊断信息。

w类数组, 形状 (M,), 可选

权重。如果不是 None，则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，权重的选择应使乘积 w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差。使用逆方差加权时，请使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值是 None。

cov布尔型或字符串, 可选

如果给定且不为 False，则不仅返回估计值，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差按 chi2/dof 进行缩放，其中 dof = M - (deg + 1)，即，除了相对意义外，权重被认为是不可靠的，并且所有内容都被缩放，使得缩减的 chi2 为 1。如果 cov='unscaled'，则省略此缩放，这适用于权重 w = 1/sigma 的情况，其中 sigma 被认为是可靠的不确定性估计。

返回:
pndarray, 形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)

多项式系数，最高次幂在前。如果 y 是二维的，则第 k 个数据集的系数在 p[:,k] 中。

残差, 秩, 奇异值, rcond

这些值仅在 full == True 时返回

  • 残差 – 最小二乘拟合的平方残差之和

  • 秩 – 缩放后的范德蒙矩阵的有效秩

    系数矩阵

  • 奇异值 – 缩放后的范德蒙矩阵的奇异值

    系数矩阵

  • rcond – rcond 的值。

有关更多详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq。

Vndarray, 形状 (deg + 1, deg + 1) 或 (deg + 1, deg + 1, K)

仅当 full == False 且 cov == True 时才存在。多项式系数估计的协方差矩阵。此矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的协方差矩阵在 V[:,:,k] 中。

警告:
RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。此警告仅在 full == False 时发出。

警告可以通过以下方式关闭

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参见

polyval

计算多项式值。

linalg.lstsq

计算最小二乘拟合。

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合。

备注

x 中的任何掩码值都会传播到 y 中，反之亦然。

该解决方案最小化平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在方程中

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数 p 的系数矩阵是一个范德蒙矩阵。

当最小二乘拟合条件不良时，polyfit 会发出 RankWarning 警告。这意味着由于数值误差，最佳拟合未明确定义。可以通过降低多项式次数或将 x 替换为 x - x.mean() 来改善结果。参数 rcond 也可以设置为小于其默认值，但由此产生的拟合可能是不真实的：包含小奇异值的贡献会给结果增加数值噪声。

请注意，当多项式次数较大或采样点区间中心不良时，拟合多项式系数本身就是条件不佳的。在这些情况下，应始终检查拟合质量。当多项式拟合不令人满意时，样条函数可能是一个很好的替代方案。

参考文献

[1]

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]

维基百科，“多项式插值”，https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

示例

>>> import numpy as np
>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 对象处理多项式很方便

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能会剧烈震荡

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

图示

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()
../../_images/numpy-ma-polyfit-1.png
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