numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
多项式与数据的最小二乘拟合。
返回一个次数为 deg 的多项式的系数，该多项式是给定点 x 处数据值 y 的最小二乘拟合。如果 y 是 1-D 的，则返回的系数也将是 1-D 的。如果 y 是 2-D 的，则执行多次拟合，每次拟合 y 的一列，并将得到的系数存储在 2-D 返回值的相应列中。拟合的多项式形式如下：
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 是 deg。
- 参数:
- xarray_like, shape (M,)
M 个样本（数据）点
(x[i], y[i])的 x 坐标。- yarray_like, shape (M,) or (M, K)
样本点的 y 坐标。可以通过为 y 传递一个包含每列一个数据集的 2-D 数组，来一次性调用
polyfit来独立地拟合具有相同 x 坐标的多个样本点集。- degint 或 1-D array_like
拟合多项式的次数。如果 deg 是一个整数，则拟合中包含直到 deg 次的所有项。对于 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用一个整数列表来指定要包含的项的次数。
- rcondfloat, optional
相对条件数。小于 rcond 的奇异值（相对于最大奇异值）将被忽略。默认值为
len(x)*eps，其中 eps 是平台浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。- fullbool, optional
开关，决定返回值性质。当为
False（默认）时，仅返回系数；当为True时，还会返回用于求解拟合矩阵方程的奇异值分解的诊断信息。- warray_like, shape (M,), optional
权重。如果不是 None，权重
w[i]适用于x[i]处的未平方残差y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择的权重应使w[i]*y[i]的乘积的误差具有相同的方差。使用逆方差加权时，使用w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。
- 返回:
- coefndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K)
按低到高的顺序排列的多项式系数。如果 y 是 2-D 的，则 coef 的第 k 列中的系数表示对 y 的第 k 列数据的多项式拟合。
- [residuals, rank, singular_values, rcond]list
这些值仅在
full == True时返回。residuals – 最小二乘拟合的残差平方和。
rank – 缩放的 Vandermonde 矩阵的数值秩
singular_values – 缩放后的 Vandermonde 矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值。
有关更多详细信息，请参阅
numpy.linalg.lstsq。
- 引发:
- RankWarning
当最小二乘拟合中的矩阵秩亏时引发。警告仅在
full == False时引发。警告可以通过>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
另请参阅
备注
解是多项式 p 的系数，它最小化加权平方误差之和
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重。通过建立（通常是超定的）矩阵方程来解决此问题
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加权伪 Vandermonde 矩阵，c 是要求解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后通过 V 的奇异值分解来求解此方程。
如果 V 的某些奇异值非常小而被忽略（并且
full==False），则会引发RankWarning。这意味着系数的值可能确定性不高。拟合一个较低次的多项式通常可以消除警告（但这可能不是你想要的；如果你有独立的原因选择度数但不起作用，你可能需要：a) 重新考虑这些原因，和/或 b) 重新考虑你数据的质量）。rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值，但由此产生的拟合可能虚假，并包含大量舍入误差。使用双精度进行多项式拟合通常在多项式次数约为 20 时“失效”。使用切比雪夫或勒让德级数进行拟合通常具有更好的条件，但很大程度上仍取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果拟合质量不足，样条可能是个不错的选择。
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
相同，但没有添加噪声
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]