离散傅里叶变换#

SciPy 模块 scipy.fft 是 numpy.fft 的一个更全面的超集，而 numpy.fft 只包含一组基本例程。

标准 FFT#

fft(a[, n, axis, norm, out])

计算一维离散傅里叶变换。

ifft(a[, n, axis, norm, out])

计算一维离散傅里叶逆变换。

fft2(a[, s, axes, norm, out])

计算二维离散傅里叶变换。

ifft2(a[, s, axes, norm, out])

计算二维离散傅里叶逆变换。

fftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 N 维离散傅里叶变换。

ifftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 N 维离散傅里叶逆变换。

实数 FFT#

rfft(a[, n, axis, norm, out])

计算实数输入的离散傅里叶变换。

irfft(a[, n, axis, norm, out])

计算 rfft 的逆变换。

rfft2(a[, s, axes, norm, out])

计算实数数组的二维 FFT。

irfft2(a[, s, axes, norm, out])

计算 rfft2 的逆变换。

rfftn(a[, s, axes, norm, out])

计算实数输入的 N 维离散傅里叶变换。

irfftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 rfftn 的逆变换。

厄米 FFT#

hfft(a[, n, axis, norm, out])

计算具有厄米对称性的信号的 FFT，即实频谱。

ihfft(a[, n, axis, norm, out])

计算具有厄米对称性的信号的逆 FFT。

辅助例程#

fftfreq(n[, d, device])

返回离散傅里叶变换的采样频率。

rfftfreq(n[, d, device])

返回离散傅里叶变换的采样频率（用于 rfft、irfft）。

fftshift(x[, axes])

将零频率分量移动到频谱的中心。

ifftshift(x[, axes])

是 fftshift 的逆运算。

背景信息#

傅里叶分析从根本上来说是一种将函数表示为周期分量之和的方法，以及从这些分量中恢复函数的方法。当函数及其傅里叶变换都被离散化时，就称为离散傅里叶变换 (DFT)。DFT 已成为数值计算的支柱之一，部分原因是存在一种计算它的非常快速的算法，称为快速傅里叶变换 (FFT)，该算法由高斯 (1805) 提出，并由 Cooley 和 Tukey [CT] 以其当前形式推广。Press 等人 [NR] 提供了一个易于理解的傅里叶分析及其应用的入门。

由于离散傅里叶变换将输入分解为在离散频率上贡献的分量，因此它在数字信号处理中有大量的应用，例如用于滤波。在这种上下文中，变换的离散化输入通常被称为信号，它存在于时域中。输出称为频谱或变换，存在于频域中。

实现细节#

定义 DFT 的方法有很多，在指数符号、归一化等方面有所不同。在本实现中，DFT 定义为：

\[A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left\{-2\pi i{mk \over n}\right\} \qquad k = 0,\ldots,n-1.\]

DFT 通常为复数输入和输出定义，线性频率 \(f\) 的单个频率分量由复指数 \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\) 表示，其中 \(\Delta t\) 是采样间隔。

结果中的值遵循所谓的“标准”顺序：如果 A = fft(a, n)，则 A[0] 包含零频率项（信号的总和），对于实数输入，它总是纯实数。然后 A[1:n/2] 包含正频率项，而 A[n/2+1:] 包含负频率项，按负频率递减的顺序排列。对于偶数个输入点，A[n/2] 同时表示正负奈奎斯特频率，对于实数输入也纯实数。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2] 包含最大的正频率，而 A[(n+1)/2] 包含最大的负频率。np.fft.fftfreq(n) 例程返回一个数组，给出对应于输出中元素的频率。 np.fft.fftshift(A) 例程会移动变换及其频率，将零频率分量放在中间，而 np.fft.ifftshift(A) 则撤销该移动。

当输入 a 是时域信号且 A = fft(a) 时，np.abs(A) 是其幅度谱，np.abs(A)**2 是其功率谱。相位谱通过 np.angle(A) 获得。

逆 DFT 定义为：

\[a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left\{2\pi i{mk\over n}\right\} \qquad m = 0,\ldots,n-1.\]

它与正向变换的区别在于指数参数的符号以及默认归一化因子 \(1/n\)。

类型提升#

numpy.fft 会将 float32 和 complex64 数组提升为 float64 和 complex128 数组。对于不提升输入数组的 FFT 实现，请参阅 scipy.fftpack。

归一化#

参数 norm 指示一对正向/逆向变换中哪一个被缩放以及缩放因子是多少。默认归一化（"backward"）是正向（前向）变换未缩放，逆向（后向）变换缩放 \(1/n\)。可以通过将关键字参数 norm 设置为 "ortho" 来获得酉变换，从而使正向和逆向变换都缩放 \(1/\sqrt{n}\)。最后，将关键字参数 norm 设置为 "forward" 会使正向变换缩放 \(1/n\)，逆向变换不缩放（即与默认的 "backward" 完全相反）。 None 是默认选项 "backward" 的别名，用于向后兼容。

实数变换和厄米变换#

当输入是纯实数时，其变换是厄米的，即频率 \(f_k\) 处的成分是频率 \(-f_k\) 处成分的复共轭，这意味着对于实数输入，负频率成分中包含的信息已由正频率成分提供。 rfft 函数族旨在处理实数输入，并通过仅计算正频率分量（包括奈奎斯特频率）来利用这种对称性。因此，n 个输入点产生 n/2+1 个复数输出点。该族函数的逆运算假定其输入具有相同的对称性，并且对于 n 个输出点使用 n/2+1 个输入点。

相应地，当频谱是纯实数时，信号是厄米的。hfft 函数族通过在 n 个实数频域点中使用 n/2+1 个复数时域点来利用这种对称性。

在更高维度中，FFT 用于图像分析和滤波等。FFT 的计算效率意味着它还可以成为计算大卷积的更快方法，利用了时域中的卷积等同于频域中的逐点乘法的性质。

高维#

在二维中，DFT 定义为：

\[A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left\{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right\} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,\]

这以显而易见的方式扩展到更高维度，并且更高维度的逆运算也以相同的方式扩展。

参考文献#

[CT]

Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series,” Math. Comput. 19: 297-301.

[NR]

Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., and Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ch. 12-13. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.

示例#

有关示例，请参阅各种函数。