切比雪夫级数 (numpy.polynomial.chebyshev)

本模块提供了许多用于处理切比雪夫级数的有用对象（主要是函数），包括一个 Chebyshev 类，该类封装了常规的算术运算。（关于此模块如何表示和处理此类多项式的一般信息，请参阅其“父”子包 numpy.polynomial 的文档字符串）。

类

Chebyshev(coef[, domain, window, symbol])

切比雪夫级数类。

常量

chebdomain	ndarray(shape, dtype=None, buffer=None, offset=0, strides=None, order=None)
chebzero	ndarray(shape, dtype=None, buffer=None, offset=0, strides=None, order=None)
chebone	ndarray(shape, dtype=None, buffer=None, offset=0, strides=None, order=None)
chebx	ndarray(shape, dtype=None, buffer=None, offset=0, strides=None, order=None)

算术运算

chebadd(c1, c2)	将一个切比雪夫级数加到另一个上面。
chebsub(c1, c2)	从另一个切比雪夫级数中减去一个切比雪夫级数。
chebmulx(c)	将切比雪夫级数乘以 x。
chebmul(c1, c2)	将一个切比雪夫级数乘以另一个。
chebdiv(c1, c2)	将一个切比雪夫级数除以另一个。
chebpow(c, pow[, maxpower])	将切比雪夫级数提高到某个幂。
chebval(x, c[, tensor])	在点 x 处计算切比雪夫级数。
chebval2d(x, y, c)	在点 (x, y) 处计算二维切比雪夫级数。
chebval3d(x, y, z, c)	在点 (x, y, z) 处计算三维切比雪夫级数。
chebgrid2d(x, y, c)	在 x 和 y 的笛卡尔积上计算二维切比雪夫级数。
chebgrid3d(x, y, z, c)	在 x、y 和 z 的笛卡尔积上计算三维切比雪夫级数。

微积分

chebder(c[, m, scl, axis])	对切比雪夫级数进行微分。
chebint(c[, m, k, lbnd, scl, axis])	对切比雪夫级数进行积分。

杂项函数

chebfromroots(roots)	生成具有给定根的切比雪夫级数。
chebroots(c)	计算切比雪夫级数的根。
chebvander(x, deg)	给定次数的伪范德蒙德矩阵。
chebvander2d(x, y, deg)	给定次数的伪范德蒙德矩阵。
chebvander3d(x, y, z, deg)	给定次数的伪范德蒙德矩阵。
chebgauss(deg)	高斯-切比雪夫求积。
chebweight(x)	切比雪夫多项式的权重函数。
chebcompanion(c)	返回 c 的缩放伴随矩阵。
chebfit(x, y, deg[, rcond, full, w])	最小二乘拟合切比雪夫级数到数据。
chebpts1(npts)	第一类切比雪夫点。
chebpts2(npts)	第二类切比雪夫点。
chebtrim(c[, tol])	从多项式中删除“小的”“尾部”系数。
chebline(off, scl)	图为一条直线（斜率为 scl，y 轴截距为 off）的切比雪夫级数。
cheb2poly(c)	将切比雪夫级数转换为多项式。
poly2cheb(pol)	将多项式转换为切比雪夫级数。
chebinterpolate(func, deg[, args])	在第一类切比雪夫点处插值函数。

另请参阅

numpy.polynomial

Notes

乘法、除法、积分和微分的实现使用了代数恒等式 [1]

\[\begin{split}T_n(x) = \frac{z^n + z^{-n}}{2} \\ z\frac{dx}{dz} = \frac{z - z^{-1}}{2}.\end{split}\]

where

\[x = \frac{z + z^{-1}}{2}.\]

这些恒等式允许将切比雪夫级数表示为有限的、对称的洛朗级数。在此模块中，此类洛朗级数被称为“z-级数”。

参考文献

[1]

A. T. Benjamin, et al., “Combinatorial Trigonometry with Chebyshev Polynomials,” Journal of Statistical Planning and Inference 14, 2008 (https://web.archive.org/web/20080221202153/https://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/CombTrig.pdf, pg. 4)