使用便利类#
polynomial 包提供的便利类包括：
这里的级数是指多项式基函数乘以系数的有限和。例如，幂级数形式如下：
其系数为 \([1, 2, 3]\)。具有相同系数的切比雪夫级数形式如下：
更一般地，我们有：
其中 \(T_n\) 是 n 次的切比雪夫函数，但也可以是任何其他级数的基函数。所有类都遵循约定，即系数 \(c[i]\) 对应于 i 次的基函数。
所有类都是不可变的，并且具有相同的方法，特别地，它们实现了 Python 的数字运算符 +, -, *, //, %, divmod, **, ==, 和 !=。由于浮点舍入误差，最后两个可能有些问题。现在我们用 NumPy 版本 1.7.0 快速演示各种操作。
基本用法#
首先，我们需要一个多项式类和一个多项式实例来演示。类可以直接从 polynomial 包或相关类型的模块导入。这里我们从包导入，并使用习惯性的 Polynomial 类，因为它更熟悉。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
注意，打印输出的长版本有三个部分。第一部分是系数，第二部分是定义域 (domain)，第三部分是窗口 (window)。
>>> p.coef
array([1., 2., 3.])
>>> p.domain
array([-1., 1.])
>>> p.window
array([-1., 1.])
打印一个多项式会以更熟悉的形式显示多项式表达式。
>>> print(p)
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
请注意，默认情况下，多项式的字符串表示形式使用 Unicode 字符（Windows 除外）来表示幂和下标。也提供了一种基于 ASCII 的表示形式（Windows 上的默认设置）。可以使用包级别的 set_default_printstyle 函数来切换多项式字符串格式。
>>> np.polynomial.set_default_printstyle('ascii')
>>> print(p)
1.0 + 2.0 x + 3.0 x**2
或通过字符串格式化控制单个多项式实例：
>>> print(f"{p:unicode}")
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
当我们讨论拟合时，我们会处理定义域和窗口，现在我们忽略它们，然后进行基本代数和算术运算。
加法和减法
>>> p + p
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p - p
Polynomial([0.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
乘法
>>> p * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
幂运算
>>> p**2
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
除法
地板除法 ‘//’ 是多项式类的除法运算符，多项式在这方面被视为整数。对于 Python 版本 < 3.x，‘/’ 运算符映射到 ‘//’，正如 Python 的情况一样。对于稍后的版本，‘/’ 仅适用于除以标量。迟早会被弃用。
>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
余数
>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
整除
>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> rem
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
求值
>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([ 1., 6., 17., 34., 57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[ 1., 6.],
[17., 34.],
[57., 86.]])
代入
将一个多项式代入 x，并展开结果。这里我们将 p 代入自身，展开后得到一个 4 次的新多项式。如果将多项式视为函数，这就是函数的复合。
>>> p(p)
Polynomial([ 6., 16., 36., 36., 27.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
根
>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])
显式使用 Polynomial 实例并不总是方便，因此元组、列表、数组和标量在算术运算中会自动转换为多项式。
>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p / 2
Polynomial([0.5, 1. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在定义域、窗口或类上不同的多项式不能混合进行算术运算。
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ
但是可以使用不同的类型进行代入。实际上，这就是多项式类之间进行类型、定义域和窗口转换的方式。
>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([2.5, 2. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
这将得到切比雪夫形式的多项式 p。之所以可行，是因为 \(T_1(x) = x\)，用 \(x\) 代入 \(x\) 并不会改变原始多项式。然而，所有的乘法和除法都将使用切比雪夫级数进行计算，因此结果的类型也是如此。
所有多项式实例都设计为不可变，因此，增量运算（+=, -= 等）以及任何可能违反多项式实例不可变性的功能，都被有意地未实现。
微积分#
多项式实例可以进行积分和微分。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(2)
Polynomial([0., 0., 1., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
第一个例子是对 p 进行一次积分，第二个例子进行两次积分。默认情况下，积分的下限和积分常数为 0，但两者都可以指定。
>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在第一种情况下，积分的下限设置为 -1，积分常数为 0。在第二种情况下，积分常数也设置为 1。微分更简单，因为唯一的选项是多项式微分的次数。
>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([2., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.deriv(2)
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
其他多项式构造器#
通过指定系数来构造多项式只是一种获得多项式实例的方法，它们也可以通过指定根、从其他多项式类型转换以及最小二乘拟合来创建。拟合将在其自己的章节中讨论，其他方法将在下面演示。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
convert 方法还可以转换定义域和窗口。
>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 , 2.96875, -0.5625 , 0.03125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875, 2.875, -1.125, 0.125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在 numpy 版本 >= 1.7.0 中，还提供了 basis 和 cast 类方法。cast 方法与 convert 方法类似，而 basis 方法则返回给定次数的基多项式。
>>> P.basis(3)
Polynomial([0., 0., 0., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> T.cast(p)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
类型之间的转换很有用，但**不**推荐常规使用。从 50 次的切比雪夫级数到同次数的 Polynomial 级数的数值精度损失，可能会导致数值求值结果变得几乎随机。
拟合#
拟合是 domain 和 window 属性成为便利类一部分的原因。为了说明这个问题，下面绘制了最高次数为 5 的切比雪夫多项式的值。
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
>>> plt.show()
在 -1 <= x <= 1 的范围内，它们是漂亮的、等波纹函数，值在 +/- 1 之间。而在 -2 <= x <= 2 的范围内，同样的图看起来非常不同。
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
>>> plt.show()
正如所见，“好的”部分已经变得微不足道。在使用切比雪夫多项式进行拟合时，我们希望使用 x 在 -1 和 1 之间的区域，而这正是 window 所指定的。然而，要拟合的数据不太可能所有数据点都在该区间内，因此我们使用 domain 来指定数据点所在的区间。当进行拟合时，定义域首先通过线性变换映射到窗口，然后使用映射后的数据点进行标准的最小二乘拟合。拟合的窗口和定义域是返回的级数的一部分，并在计算值、导数等时自动使用。如果在调用中未指定它们，拟合例程将使用默认窗口和包含所有数据点的最小定义域。下面用一个拟合带噪声的正弦曲线的例子来说明。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
>>> p.domain
array([0. , 6.28318531])
>>> p.window
array([-1., 1.])
>>> plt.show()
