numpy.ma.polyfit#

ma.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)[源代码]#

最小二乘多项式拟合。

注意

这是旧的 polynomial API 的一部分。自 1.4 版本起，推荐使用 numpy.polynomial 中定义的新的 polynomial API。差异总结可在 迁移指南 中找到。

拟合一个次数为 deg 的多项式 p[0] * x**deg + ... + p[deg] 到点 (x, y)。返回一个系数向量 p，该向量最小化了次数为 deg, deg-1, … 0 的平方误差。

推荐使用 Polynomial.fit 类方法来编写新代码，因为它在数值上更稳定。有关更多信息，请参阅该方法的文档。

参数:
xarray_like, shape (M,)

M 个样本点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标。

yarray_like, shape (M,) or (M, K)

样本点的 y 坐标。可以通过传递一个包含多个共享相同 x 坐标的数据集（每列一个数据集）的二维数组，一次性拟合多个数据集。

degint

拟合多项式的次数。

rcondfloat, optional

相对条件数。小于此值（相对于最大奇异值）的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为 2e-16。

fullbool, optional

决定返回值性质的开关。当它为 False（默认值）时，仅返回系数；当它为 True 时，还返回奇异值分解的诊断信息。

warray_like, shape (M,), optional

权重。如果不是 None，权重 w[i] 适用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择的权重应使 w[i]*y[i] 的乘积的误差具有相同的方差。使用逆方差加权时，使用 w[i] = 1/sigma(y[i])。默认值为 None。

covbool or str, optional

如果给定且不为 False，则不仅返回估计值，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差会按 chi2/dof 缩放，其中 dof = M - (deg + 1)，即权重被假定为仅在相对意义上不可靠，并且一切都会被缩放，使得约简 chi2 为 1。如果 cov='unscaled'，则省略此缩放，这与权重为 w = 1/sigma 的情况相关，其中 sigma 被可靠地估计为不确定性。

返回:
pndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K)

多项式系数，最高次幂在前。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的系数位于 p[:,k] 中。

residuals, rank, singular_values, rcond

这些值仅在 full == True 时返回。

  • residuals – 最小二乘拟合的残差平方和。

  • rank – 缩放的范德蒙德系数矩阵的有效秩。

  • singular_values – 缩放的范德蒙德系数矩阵的奇异值。

  • rcond – rcond 的值。

有关更多详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq。

Vndarray, shape (deg + 1, deg + 1) or (deg + 1, deg + 1, K)

仅当 full == False 且 cov == True 时出现。多项式系数估计的协方差矩阵。该矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果 y 是二维数组，则第 k 个数据集的协方差矩阵位于 V[:,:,k] 中。

警告:
RankWarning

最小二乘拟合中的系数矩阵秩不足。仅当 full == False 时才发出警告。

警告可以关闭

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

另请参阅

polyval

计算多项式值。

linalg.lstsq

计算最小二乘拟合。

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合。

备注

x 中的任何掩码值都会在 y 中传播，反之亦然。

该解最小化了平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在方程中

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数 p 的系数矩阵是范德蒙德矩阵。

polyfit 在最小二乘拟合条件不佳时发出 RankWarning。这表明由于数值误差，最佳拟合不明确。通过降低多项式次数或将 x 替换为 x - x.mean() 可以改进结果。rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值，但结果可能存在伪影：包含小奇异值的贡献可能会给结果带来数值噪声。

请注意，当多项式次数很高或样本点区间中心不良时，拟合多项式系数本质上条件就不好。在这些情况下，应始终检查拟合的质量。当多项式拟合不满意时，样条可能是个不错的选择。

参考

[1]

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]

维基百科，“多项式插值”，https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

示例

>>> import numpy as np
>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 对象来处理多项式很方便。

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高次多项式可能剧烈振荡。

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

图示

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()
../../_images/numpy-ma-polyfit-1.png
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