使用便捷类#
多项式包提供的便捷类有：
名称 |
提供 |
|---|---|
幂级数 |
|
切比雪夫级数 |
|
勒让德级数 |
|
拉盖尔级数 |
|
埃尔米特级数 |
|
HermiteE 级数 |
此处的级数是相应多项式基函数乘以系数的有限和。例如，幂级数如下所示：
其系数为 \([1, 2, 3]\)。具有相同系数的切比雪夫级数如下所示：
更一般地：
在此情况下，\(T_n\) 是 \(n\) 次切比雪夫函数，但也可能是任何其他类的基函数。所有类的约定是系数 \(c[i]\) 与 i 次基函数相对应。
所有类都是不可变的，并且具有相同的方法，尤其是在实现 Python 数值运算符 +、-、*、//、%、divmod、**、== 和 != 方面。由于浮点舍入误差，最后两个运算符可能有点问题。我们现在将使用 NumPy 1.7.0 版本快速演示各种运算。
基础知识#
首先，我们需要一个多项式类和一个多项式实例来进行操作。这些类可以直接从多项式包或相关类型的模块中导入。在这里，我们从包中导入并使用常规的 Polynomial 类，因为它比较熟悉。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
请注意，长版打印输出包含三个部分。第一个是系数，第二个是定义域，第三个是窗口。
>>> p.coef
array([1., 2., 3.])
>>> p.domain
array([-1., 1.])
>>> p.window
array([-1., 1.])
打印多项式会以更常用的格式显示多项式表达式。
>>> print(p)
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
请注意，多项式的字符串表示默认情况下使用 Unicode 字符（Windows 除外）来表示幂和下标。也可以使用基于 ASCII 的表示（Windows 上默认）。可以使用 set_default_printstyle 函数在包级别切换多项式字符串格式。
>>> np.polynomial.set_default_printstyle('ascii')
>>> print(p)
1.0 + 2.0 x + 3.0 x**2
或者使用字符串格式化控制单个多项式实例。
>>> print(f"{p:unicode}")
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
在讨论拟合时我们将处理定义域和窗口，目前我们忽略它们并运行基本的代数和算术运算。
加法和减法
>>> p + p
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p - p
Polynomial([0.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
乘法
>>> p * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
幂
>>> p**2
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
除法
向下取整除法“//”是多项式类的除法运算符，在这方面多项式被视为整数。对于 Python 3.x 之前的版本，“/”运算符映射到“//”，就像 Python 一样，对于更高版本，“/”运算符只能用于除以标量。在某个时候它将被弃用。
>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
余数
>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
Divmod
>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> rem
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
求值
>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([ 1., 6., 17., 34., 57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[ 1., 6.],
[17., 34.],
[57., 86.]])
替换
用一个多项式替换 x 并展开结果。这里我们用 p 自身替换 p，展开后得到一个 4 次新多项式。如果将多项式视为函数，这就是函数的复合。
>>> p(p)
Polynomial([ 6., 16., 36., 36., 27.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
根
>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])
并非总是方便显式使用 Polynomial 实例，因此在算术运算中会自动转换元组、列表、数组和标量。
>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p / 2
Polynomial([0.5, 1. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
定义域、窗口或类不同的多项式不能混合进行算术运算。
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ
但是不同的类型可以用于替换。事实上，这就是在多项式类之间进行类型、定义域和窗口转换的方式。
>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([2.5, 2. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
这将给出切比雪夫形式的多项式 p。这是因为 \(T_1(x) = x\)，并且用 \(x\) 替换 \(x\) 并不会改变原来的多项式。但是，所有乘法和除法都将使用切比雪夫级数进行，因此结果的类型也是如此。
所有多项式实例都应为不可变的，因此故意未实现增强运算符 (+=、-= 等) 和任何其他会违反多项式实例不可变性的功能。
微积分#
多项式实例可以进行积分和微分。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(2)
Polynomial([0., 0., 1., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
第一个示例对 p 进行一次积分，第二个示例对它进行两次积分。默认情况下，积分的下界和积分常数为 0，但两者都可以指定。
>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在第一个例子中，积分的下界设置为 -1，积分常数为 0。在第二个例子中，积分常数也设置为 1。微分比较简单，因为唯一的选择是多项式微分的次数。
>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([2., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.deriv(2)
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
其他多项式构造器#
通过指定系数来构造多项式只是获取多项式实例的一种方法，也可以通过指定它们的根、从其他多项式类型转换以及通过最小二乘拟合来创建它们。拟合在其自己的部分中讨论，其他方法在下面演示。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
convert 方法也可以转换定义域和窗口。
>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 , 2.96875, -0.5625 , 0.03125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875, 2.875, -1.125, 0.125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在 numpy 1.7.0 或更高版本中，还提供 basis 和 cast 类方法。cast 方法的工作方式类似于 convert 方法，而 basis 方法返回给定次数的基多项式。
>>> P.basis(3)
Polynomial([0., 0., 0., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> T.cast(p)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
类型之间的转换可能很有用，但不建议常规使用。从 50 次切比雪夫级数转换为相同次数的多项式级数时，数值精度的损失可能会使数值评估的结果基本上是随机的。
拟合#
拟合是 domain 和 window 属性成为便捷类一部分的原因。为了说明这个问题，下面绘制了高达 5 次的切比雪夫多项式的值。
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
>>> plt.show()
在 -1 <= x <= 1 的范围内，它们是很好的等波纹函数，位于 +/- 1 之间。在 -2 <= x <= 2 的范围内，相同的图看起来非常不同。
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
>>> plt.show()
正如所见，“良好”部分已缩小到微不足道。在使用切比雪夫多项式进行拟合时，我们希望使用 x 在 -1 到 1 之间的区域，这就是 window 指定的区域。然而，要拟合的数据不太可能所有数据点都在该区间内，因此我们使用 domain 来指定数据点所在的区间。进行拟合时，首先通过线性变换将域映射到窗口，然后使用映射后的数据点进行通常的最小二乘拟合。拟合的窗口和域是返回序列的一部分，并在计算值、导数等时自动使用。如果在调用中未指定它们，则拟合例程将使用默认窗口和包含所有数据点的最小域。下图说明了对噪声正弦曲线的拟合。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
>>> p.domain
array([0. , 6.28318531])
>>> p.window
array([-1., 1.])
>>> plt.show()
