使用便捷类#
多项式包提供的便捷类是
在此上下文中，级数是指相应多项式基函数的有限和，乘以系数。例如，幂级数看起来像
并具有系数 \([1, 2, 3]\)。具有相同系数的切比雪夫级数看起来像
更一般地
在这种情况下，\(T_n\) 是度为 \(n\) 的切比雪夫函数，但也可以是任何其他类别的基函数。所有类别的惯例是系数 \(c[i]\) 与度为 i 的基函数相对应。
所有类都是不可变的，并且具有相同的方法，特别是它们实现了 Python 数值运算符 +, -, *, //, %, divmod, **, == 和 !=。最后两个运算符可能会因浮点舍入误差而出现问题。现在，我们将使用 NumPy 版本 1.7.0 快速演示各种运算。
基础#
首先，我们需要一个多项式类和一个多项式实例来进行操作。可以从多项式包或相关类型的模块中直接导入这些类。这里，我们从包中导入并使用传统的 Polynomial 类，因为大家都比较熟悉它
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
请注意，长格式输出包含三个部分。第一个是系数，第二个是域，第三个是窗口
>>> p.coef
array([1., 2., 3.])
>>> p.domain
array([-1., 1.])
>>> p.window
array([-1., 1.])
打印多项式将生成更常见的格式的多项式表达式
>>> print(p)
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
请注意，多项式的字符串表示默认情况下使用 Unicode 字符（Windows 除外）来表示幂和下标。还可以使用基于 ASCII 的表示（Windows 上的默认值）。可以使用 set_default_printstyle 函数在包级别切换多项式字符串格式
>>> np.polynomial.set_default_printstyle('ascii')
>>> print(p)
1.0 + 2.0 x + 3.0 x**2
或使用字符串格式化控制单个多项式实例
>>> print(f"{p:unicode}")
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
在我们开始拟合时，会处理域和窗口，目前我们忽略它们，并运行基本的代数和算术运算。
加法和减法
>>> p + p
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p - p
Polynomial([0.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
乘法
>>> p * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
幂
>>> p**2
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
除法
地板除法 “//” 是多项式类的除法运算符，在这种情况下，多项式被视为整数。对于 Python 版本 < 3.x，运算符 “/” 映射到 “//”，就像 Python 一样，对于更高版本，运算符 “/” 仅适用于除以标量。将来它将被弃用
>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
余数
>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
Divmod
>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> rem
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
求值
>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([ 1., 6., 17., 34., 57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[ 1., 6.],
[17., 34.],
[57., 86.]])
替换
用多项式替换 x 并展开结果。这里，我们用 p 自身替换 p，导致展开后生成一个新的 4 次多项式。如果将多项式视为函数，则这是函数的合成
>>> p(p)
Polynomial([ 6., 16., 36., 36., 27.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
根
>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])
并非总是很方便使用 Polynomial 实例，因此元组、列表、数组和标量会在算术运算中自动转换
>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p / 2
Polynomial([0.5, 1. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
域、窗口或类不同的多项式不能在算术运算中混合使用
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ
但是，不同的类型可以用于替换。事实上，这就是多项式类在类型、域和窗口转换之间进行转换的方式
>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([2.5, 2. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
这将生成以切比雪夫形式表示的多项式 p。这是因为 \(T_1(x) = x\)，用 \(x\) 替换 \(x\) 不会改变原始多项式。但是，所有乘法和除法都将使用切比雪夫级数完成，因此结果的类型也是如此。
所有多项式实例都应该是不可变的，因此故意没有实现增强运算（+=、-= 等）以及任何可能违反多项式实例不可变性的功能。
微积分#
多项式实例可以进行积分和微分。
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(2)
Polynomial([0., 0., 1., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
第一个示例将 p 积分一次，第二个示例将它积分两次。默认情况下，积分的下限和积分常数为 0，但两者都可以指定。
>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在第一个示例中，积分的下限设置为 -1，积分常数为 0。在第二个示例中，积分常数也设置为 1。微分比较简单，因为唯一的选择是多项式微分的次数
>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([2., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.deriv(2)
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
其他多项式构造函数#
通过指定系数来构造多项式只是获得多项式实例的一种方法，也可以通过指定它们的根、从其他多项式类型转换以及最小二乘拟合来创建它们。拟合在自己的部分中讨论，其他方法将在下面演示
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
convert 方法还可以转换域和窗口
>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 , 2.96875, -0.5625 , 0.03125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875, 2.875, -1.125, 0.125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在 numpy 版本 >= 1.7.0 中，basis 和 cast 类方法也可用。cast 方法的工作方式与 convert 方法类似，而 basis 方法返回指定度的基多项式
>>> P.basis(3)
Polynomial([0., 0., 0., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> T.cast(p)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
类型之间的转换可能很有用，但不建议用于日常使用。从 50 次切比雪夫级数转换为相同度的 Polynomial 级数可能会导致数值精度损失，从而使数值计算结果基本上是随机的。
拟合#
拟合是 domain 和 window 属性作为便捷类一部分的原因。为了说明问题，下面绘制了高达 5 次的切比雪夫多项式的值。
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
>>> plt.show()
在 -1 <= x <= 1 的范围内，它们是良好的、等波纹函数，位于 +/- 1 之间。在 -2 <= x <= 2 的范围内，相同的图看起来非常不同
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
>>> plt.show()
如您所见，“良好”部分已缩小到微不足道。在使用切比雪夫多项式进行拟合时，我们希望使用 x 位于 -1 和 1 之间的区域，这就是 window 指定的内容。但是，要拟合的数据点不太可能全部位于该区间内，因此我们使用 domain 来指定数据点所在的区间。完成拟合后，域将首先通过线性变换映射到窗口，然后使用映射后的数据点进行常规的最小二乘拟合。拟合的窗口和域是返回的级数的一部分，并在计算值、导数等时自动使用。如果在调用拟合例程时未指定它们，则该例程将使用默认窗口以及包含所有数据点的最小域。下面将针对带噪声正弦曲线的拟合来演示这一点。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
>>> p.domain
array([0. , 6.28318531])
>>> p.window
array([-1., 1.])
>>> plt.show()
