numpy.gradient#
- numpy.gradient(f, *varargs, axis=None, edge_order=1)[source]#
返回 N 维数组的梯度。
梯度使用内部点的二阶精确中心差分以及边界处的一阶或二阶精确单侧（向前或向后）差分来计算。因此，返回的梯度与输入数组具有相同的形状。
- 参数：
- farray_like
包含标量函数样本的 N 维数组。
- varargs标量或数组列表，可选
f 值之间的间距。所有维度的默认单位间距。可以使用以下方式指定间距：
单个标量来为所有维度指定样本距离。
N 个标量来为每个维度指定一个常数样本距离，例如 dx, dy, dz, …
N 个数组来指定 F 沿每个维度的值的坐标。数组的长度必须与相应维度的尺寸匹配。
2. 和 3. 的任何 N 个标量/数组的组合。
如果给出 axis，则 varargs 的数量必须等于轴的数量。默认值：1。（参见下面的示例）。
- edge_order{1, 2}，可选
使用 N 阶精确差分在边界处计算梯度。默认值：1。
- axisNone 或 int 或 int 元组，可选
仅沿给定的轴或轴计算梯度。默认值（axis = None）是计算输入数组所有轴的梯度。axis 可以为负数，在这种情况下，它从最后一个轴到第一个轴进行计数。
- 返回：
- gradientndarray 或 ndarray 元组
对应于 f 关于每个维度导数的 ndarray 元组（如果只有一个维度，则为单个 ndarray）。每个导数都与 f 具有相同的形状。
注释
假设 \(f\in C^{3}\)（即，\(f\) 至少有 3 个连续导数），并设 \(h_{*}\) 为非均匀步长，我们最小化真梯度与其来自相邻网格点线性组合的估计值之间的“一致性误差” \(\eta_{i}\)
\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]通过用它们的泰勒级数展开式替换 \(f(x_{i} + h_{d})\) 和 \(f(x_{i} - h_{s})\)，这转化为求解以下线性系统
\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]\(f_{i}^{(1)}\) 的结果近似值如下：
\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]值得注意的是，如果 \(h_{s}=h_{d}\)（即数据均匀分布），我们找到了标准的二阶近似值
\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]使用类似的过程可以导出用于边界的向前/向后近似值。
参考文献
[1]Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2007) Numerical Mathematics (Texts in Applied Mathematics). New York: Springer.
[2]Durran D. R. (1999) Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. New York: Springer.
[3]Fornberg B. (1988) Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids, Mathematics of Computation 51, no. 184 : 699-706. PDF.
示例
>>> import numpy as np >>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16]) >>> np.gradient(f) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ]) >>> np.gradient(f, 2) array([0.5 , 0.75, 1.25, 1.75, 2.25, 2.5 ])
间距也可以使用表示 F 沿维度值的坐标的数组来指定。例如均匀间距
>>> x = np.arange(f.size) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
或非均匀间距
>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.]) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 3. , 3.5, 6.7, 6.9, 2.5])
对于二维数组，返回将是按轴排序的两个数组。在这个例子中，第一个数组代表行方向上的梯度，第二个数组代表列方向上的梯度。
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]])) (array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ], [1. , 1. , 1. ]]))
在这个例子中，间距也被指定：axis=0 为均匀间距，axis=1 为非均匀间距。
>>> dx = 2. >>> y = [1., 1.5, 3.5] >>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), dx, y) (array([[ 1. , 1. , -0.5], [ 1. , 1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ], [2. , 1.7, 0.5]]))
可以使用 edge_order 指定边界如何处理。
>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) >>> f = x**2 >>> np.gradient(f, edge_order=1) array([1., 2., 4., 6., 7.]) >>> np.gradient(f, edge_order=2) array([0., 2., 4., 6., 8.])
axis 关键字可用于指定计算梯度的轴子集。
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), axis=0) array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]])
varargs 参数定义输入数组中样本点之间的间距。它可以采用两种形式：
一个数组，指定坐标，可能是不均匀分布的。
>>> x = np.array([0., 2., 3., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, x, edge_order=2) array([ 0., 4., 6., 12., 16.])
一个标量，表示固定的样本距离。
>>> dx = 2 >>> x = np.array([0., 2., 4., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, dx, edge_order=2) array([ 0., 4., 8., 12., 16.])
可以为每个维度提供不同的间距数据。参数的数量必须与输入数据中的维度数量匹配。
>>> dx = 2 >>> dy = 3 >>> x = np.arange(0, 6, dx) >>> y = np.arange(0, 9, dy) >>> xs, ys = np.meshgrid(x, y) >>> zs = xs + 2 * ys >>> np.gradient(zs, dy, dx) # Passing two scalars (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))
混合标量和数组也是允许的。
>>> np.gradient(zs, y, dx) # Passing one array and one scalar (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))