离散傅里叶变换 (numpy.fft)#

SciPy 模块 scipy.fft 是 numpy.fft 的更全面且功能更强大的超集，后者仅包含一组基本的例程。

标准 FFT#

fft(a[, n, axis, norm, out])

计算一维离散傅里叶变换。

ifft(a[, n, axis, norm, out])

计算一维逆离散傅里叶变换。

fft2(a[, s, axes, norm, out])

计算二维离散傅里叶变换。

ifft2(a[, s, axes, norm, out])

计算二维逆离散傅里叶变换。

fftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 N 维离散傅里叶变换。

ifftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 N 维逆离散傅里叶变换。

实数 FFT#

rfft(a[, n, axis, norm, out])

计算实数输入的一维离散傅里叶变换。

irfft(a[, n, axis, norm, out])

计算 rfft 的逆变换。

rfft2(a[, s, axes, norm, out])

计算实数数组的二维 FFT。

irfft2(a[, s, axes, norm, out])

计算 rfft2 的逆变换。

rfftn(a[, s, axes, norm, out])

计算实数输入的 N 维离散傅里叶变换。

irfftn(a[, s, axes, norm, out])

计算 rfftn 的逆变换。

厄米特 FFT#

hfft(a[, n, axis, norm, out])

计算具有厄米特对称性（即实数谱）的信号的 FFT。

ihfft(a[, n, axis, norm, out])

计算具有厄米特对称性的信号的逆 FFT。

辅助例程#

fftfreq(n[, d, device])

返回离散傅里叶变换样本频率。

rfftfreq(n[, d, device])

返回离散傅里叶变换样本频率（用于 rfft、irfft）。

fftshift(x[, axes])

将零频率分量移到频谱的中心。

ifftshift(x[, axes])

fftshift 的逆变换。

背景信息#

傅里叶分析从根本上来说是一种将函数表示为周期分量之和的方法，以及从这些分量中恢复函数的方法。当函数及其傅里叶变换都被替换为离散的对应物时，它被称为离散傅里叶变换 (DFT)。DFT 已经成为数值计算的支柱，部分原因在于一个非常快速的计算它的算法，称为快速傅里叶变换 (FFT)，高斯 (1805) 就知道这个算法，并由 Cooley 和 Tukey [CT] 以其当前形式阐明。Press 等人 [NR] 提供了对傅里叶分析及其应用的可访问介绍。

因为离散傅里叶变换将它的输入分离成在离散频率下贡献的分量，所以在数字信号处理中它有大量的应用，例如用于滤波，在这种情况下，变换的离散输入通常被称为信号，它存在于时域中。输出被称为频谱或变换，并存在于频域中。

实现细节#

有很多方法可以定义 DFT，在指数的符号、归一化等方面有所不同。在这个实现中，DFT 定义为

\[A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left\{-2\pi i{mk \over n}\right\} \qquad k = 0,\ldots,n-1.\]

DFT 通常是为复数输入和输出定义的，并且线性频率为 \(f\) 的单频分量由复指数 \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\) 表示，其中 \(\Delta t\) 是采样间隔。

结果中的值遵循所谓的“标准”顺序：如果A = fft(a, n)，则A[0]包含零频率项（信号的总和），对于实数输入，它始终是纯实数。然后A[1:n/2]包含正频率项，而A[n/2+1:]包含负频率项，频率递减。对于偶数个输入点，A[n/2]表示正负奈奎斯特频率，对于实数输入也为纯实数。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2]包含最大的正频率，而A[(n+1)/2]包含最大的负频率。np.fft.fftfreq(n)例程返回一个数组，给出输出中相应元素的频率。np.fft.fftshift(A)例程将变换及其频率移位，使零频率分量位于中间，而np.fft.ifftshift(A)则撤销该移位。

当输入a是时域信号且A = fft(a)时，np.abs(A)是其幅度谱，np.abs(A)**2是其功率谱。相位谱由np.angle(A)获得。

逆DFT定义为

\[a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left\{2\pi i{mk\over n}\right\} \qquad m = 0,\ldots,n-1.\]

它与正向变换的区别在于指数参数的符号以及默认的\(1/n\)归一化。

类型提升#

numpy.fft 将float32和complex64数组分别提升到float64和complex128数组。对于不提升输入数组的FFT实现，请参见scipy.fftpack。

归一化#

norm参数指示正向/逆变换对中的哪个方向进行缩放以及使用什么归一化因子。默认归一化（"backward"）对正向变换不进行缩放，对逆变换进行\(1/n\)缩放。通过将关键字参数norm设置为"ortho"，可以获得酉变换，这样正向和逆变换都将被\(1/\sqrt{n}\)缩放。最后，将关键字参数norm设置为"forward"将使正向变换被\(1/n\)缩放，而逆变换不进行缩放（即与默认的"backward"完全相反）。None是默认选项"backward"的别名，用于向后兼容。

实变换和厄米特变换#

当输入是纯实数时，其变换是厄米特变换，即频率\(f_k\)处的分量是频率\(-f_k\)处的分量的复共轭，这意味着对于实数输入，负频率分量中没有正频率分量中尚未提供的信息。rfft函数族旨在对实数输入进行运算，并通过仅计算正频率分量（直到并包括奈奎斯特频率）来利用这种对称性。因此，n个输入点会产生n/2+1个复数输出点。此函数族的逆变换假设其输入具有相同的对称性，并且对于n个点的输出，它使用n/2+1个输入点。

相应地，当频谱是纯实数时，信号是厄米特信号。hfft函数族通过在输入（时域）中使用n/2+1个复数点来利用这种对称性，从而在频域中产生n个实数点。

在更高维度中，FFT 用于例如图像分析和滤波。FFT 的计算效率意味着它也可以成为计算大型卷积的更快方法，利用的是时域中的卷积等效于频域中的逐点乘法的属性。

更高维度#

在二维情况下，DFT 定义为

\[A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left\{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right\} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,\]

这可以很容易地扩展到更高维度，更高维度的逆变换也可以以相同的方式扩展。

参考文献#

[CT]

Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series,” Math. Comput. 19: 297-301。

[NR]

Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., and Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ch. 12-13. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK。

示例#

有关示例，请参见各种函数。