numpy.linalg.qr#

linalg.qr(a, mode='reduced')[源码]#

计算矩阵的 QR 分解。

将矩阵 a 分解为 qr，其中 q 是正交的，r 是上三角的。

参数:
aarray_like, shape (…, M, N)

至少有 2 个维度的类数组对象。

mode{‘reduced’, ‘complete’, ‘r’, ‘raw’}, optional, default: ‘reduced’

如果 K = min(M, N)，则

  • ‘reduced’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, K), (…, K, N)

  • ‘complete’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, M), (…, M, N)

  • ‘r’ : 只返回 R，维度为 (…, K, N)

  • ‘raw’ : 返回 h, tau，维度为 (…, N, M), (…, K,)

选项 ‘reduced’, ‘complete’ 和 ‘raw’ 是 numpy 1.8 中的新增功能，更多信息请参阅 notes。默认值为 ‘reduced’，为保持与早期 numpy 版本的向后兼容性，可以省略它和旧的默认值 ‘full’。请注意，在‘raw’模式下返回的数组 h 是转置的，以便调用 Fortran。‘economic’模式已弃用。为了向后兼容，可以使用‘full’和‘economic’模式的首字母，但其他模式必须拼写完整。更多解释请参阅 Notes。

返回:
Qndarray of float or complex, optional

一个具有正交列的矩阵。当 mode = ‘complete’ 时，结果是一个正交/酉矩阵，具体取决于 a 是否为实数/复数。在这种情况下，行列式可能为 +/- 1。如果输入数组的维数大于 2，则返回上述属性的矩阵堆栈。

Rndarray of float or complex, optional

上三角矩阵，如果输入数组的维数大于 2，则为上三角矩阵的堆栈。

(h, tau)ndarrays of np.double or np.cdouble, optional

数组 h 包含生成 q 和 r 的 Householder 反射。tau 数组包含反射的缩放因子。在已弃用的‘economic’模式下，只返回 h。

引发:
LinAlgError

如果分解失败。

另请参阅

scipy.linalg.qr

SciPy 中的类似函数。

scipy.linalg.rq

计算矩阵的 RQ 分解。

备注

当 mode 为 ‘reduced’ 或 ‘complete’ 时，结果将是一个命名元组，包含属性 Q 和 R。

这是 LAPACK 例程 dgeqrf, zgeqrf, dorgqr 和 zungqr 的接口。

有关 QR 分解的更多信息，请参阅例如：https://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

除‘raw’模式外，ndarray 的子类均会被保留。因此，如果 a 是 matrix 类型，则所有返回值也将是矩阵。

NumPy 1.8.0 中新增了 mode 的‘reduced’、‘complete’和‘raw’选项，旧选项‘full’被设置为‘reduced’的别名。此外，‘full’和‘economic’选项已被弃用。由于‘full’是之前的默认值，而‘reduced’是新的默认值，可以通过让 mode 保持默认值来维持向后兼容性。添加‘raw’选项是为了能够使用可以利用 Householder 反射矩阵与数组相乘的 LAPACK 例程。请注意，在这种情况下，返回的数组类型为 np.double 或 np.cdouble，并且 h 数组被转置以兼容 FORTRAN。目前 numpy 没有暴露任何使用‘raw’返回值的例程，但 lapack_lite 中有一些例程，只需要稍作处理即可使用。

示例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(Q, R))  # a does equal QR
True
>>> R2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(R, R2)  # mode='r' returns the same R as mode='full'
True
>>> a = np.random.normal(size=(3, 2, 2)) # Stack of 2 x 2 matrices as input
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> Q.shape
(3, 2, 2)
>>> R.shape
(3, 2, 2)
>>> np.allclose(a, np.matmul(Q, R))
True

说明 qr 常见用法（求解最小二乘问题）的示例：

对于以下数据：{(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}，在 y = y0 + mx 中，最小二乘最优的 m 和 y0 是什么？（绘制这些点，您会发现 y0 = 0，m = 1。）答案是通过求解超定矩阵方程 Ax = b 来获得的，其中：

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

如果 A = QR 且 Q 是正交的（这总可以通过 Gram-Schmidt 实现），则 x = inv(R) * (Q.T) * b。（但在 numpy 实践中，我们直接使用 lstsq。）

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 2, 2, 3])
>>> Q, R = np.linalg.qr(A)
>>> p = np.dot(Q.T, b)
>>> np.dot(np.linalg.inv(R), p)
array([  1.,   1.])
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