numpy.linalg.matrix_rank#

linalg.matrix_rank(A, tol=None, hermitian=False, *, rtol=None)[source]#

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于 tol 的奇异值的数量。

参数:

A{(M,), (…, M, N)} array_like: 输入向量或矩阵堆栈。
tol(…) array_like, float, optional: SVD 值在此阈值以下被视为零。如果 tol 为 None，并且 S 是 M 的奇异值数组，并且 eps 是 S 数据类型的 epsilon 值，则 tol 设置为 S.max() * max(M, N) * eps。
hermitianbool, optional: 如果为 True，则假定 A 是厄米矩阵（实值时为对称矩阵），从而可以使用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。
rtol(…) array_like, float, optional: 相对容差分量的参数。一次只能设置 tol 或 rtol。默认为 max(M, N) * eps。

版本 2.0.0 中新增。

返回:

rank(…) array_like: A 的秩。

备注

检测秩亏损的默认阈值是对 A 的奇异值大小的测试。默认情况下，我们将小于 S.max() * max(M, N) * eps 的奇异值视为秩亏损（如上文所示）。这是 MATLAB 使用的算法 [1]。它也出现在Numerical recipes 关于线性最小二乘法的 SVD 解的讨论中 [2]。

此默认阈值旨在考虑 SVD 计算的数值误差来检测秩亏损。设想 A 中有一列是 A 中其他列的精确（浮点数）线性组合。在一般情况下，计算 A 的 SVD 不会产生正好为 0 的奇异值：最小 SVD 值与 0 的任何差异都将由 SVD 计算中的数值精度引起。我们对小的 SVD 值的阈值考虑了这种数值精度，并且默认阈值将检测到这种数值秩亏损。即使 A 的某些列的线性组合不等于 A 的另一列，但仅在数值上非常接近 A 的另一列，该阈值也可能将矩阵 A 声明为秩亏损。

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用。其他阈值也是可能的。例如，在Numerical recipes 2007 年版中，还有另一种阈值 S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.)。作者将此阈值描述为基于“预期的舍入误差”（第 71 页）。

上述阈值处理 SVD 计算中的浮点舍入误差。然而，您可能对 A 的误差来源有更多了解，这会使您考虑其他容差值来检测有效的秩亏损。容差的最有用度量取决于您打算对矩阵执行的操作。例如，如果您的数据来自不确定性大于浮点 epsilon 的不确定测量，则选择接近该不确定性的容差可能更可取。如果容差是绝对的而不是相对的，则容差可以是绝对的。

参考

[1]

MATLAB 参考文档，“Rank” https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

[2]

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery, “Numerical Recipes (3rd edition)”, Cambridge University Press, 2007, page 795。

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0