numpy.linalg.qr#

linalg.qr(a, mode='reduced')[source]#

计算矩阵的 QR 分解。

将矩阵a分解为qr，其中q是正交的，r是上三角的。

参数：
aarray_like，形状 (…, M, N)

维度至少为 2 的类数组对象。

mode{'reduced', 'complete', 'r', 'raw'}，可选，默认值：'reduced'

如果 K = min(M, N)，则

  • ‘reduced’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, K), (…, K, N)

  • ‘complete’ : 返回 Q, R，维度为 (…, M, M), (…, M, N)

  • ‘r’ : 只返回 R，维度为 (…, K, N)

  • ‘raw’ : 返回 h, tau，维度为 (…, N, M), (…, K,)

选项 ‘reduced’，‘complete’ 和 ‘raw’ 是 NumPy 1.8 中新增的，更多信息请参见注释。默认值为 ‘reduced’，为了与早期版本的 NumPy 保持向后兼容性，可以省略它和旧的默认值 ‘full’。请注意，在 ‘raw’ 模式下返回的数组 h 对于调用 Fortran 进行了转置。'economic' 模式已弃用。为了向后兼容，可以仅使用第一个字母传递模式 ‘full’ 和 ‘economic’，但所有其他模式必须拼写完整。更多解释请参见注释。

返回值：
当 mode 为 ‘reduced’ 或 ‘complete’ 时，结果将是一个命名元组，
其属性为Q 和R。
Qndarray of float 或 complex，可选

具有正交列的矩阵。当 mode = 'complete' 时，结果是一个正交/酉矩阵，具体取决于 a 是实数/复数。在这种情况下，行列式可以是 +/- 1。如果输入数组的维度大于 2，则返回这些矩阵的堆栈。

Rndarray of float 或 complex，可选

上三角矩阵，如果输入数组的维度大于 2，则为上三角矩阵的堆栈。

(h, tau)ndarrays of np.double 或 np.cdouble，可选

数组 h 包含生成 q 和 r 的 Householder 反射器。tau 数组包含反射器的缩放因子。在已弃用的 ‘economic’ 模式下，只返回 h。

引发：
LinAlgError

如果分解失败。

参见

scipy.linalg.qr

SciPy 中的类似函数。

scipy.linalg.rq

计算矩阵的 RQ 分解。

注释

这是对 LAPACK 例程 dgeqrf、zgeqrf、dorgqr 和 zungqr 的接口。

有关 qr 分解的更多信息，例如，参见：https://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

ndarray 的子类将被保留，除了 ‘raw’ 模式。因此，如果a是matrix类型，所有返回值也将是矩阵。

NumPy 1.8.0 中添加了新的 ‘reduced’，‘complete’ 和 ‘raw’ 模式选项，并且旧的选项 ‘full’ 成为 ‘reduced’ 的别名。此外，选项 ‘full’ 和 ‘economic’ 已弃用。因为 ‘full’ 是之前的默认值，而 ‘reduced’ 是新的默认值，所以可以通过让mode使用默认值来保持向后兼容性。添加 ‘raw’ 选项是为了可以使用能够使用 Householder 反射器将数组乘以 q 的 LAPACK 例程。请注意，在这种情况下，返回的数组的类型为 np.double 或 np.cdouble，并且 h 数组被转置以与 FORTRAN 兼容。目前 NumPy 没有公开使用 ‘raw’ 返回值的例程，但 lapack_lite 中有一些可用，只需要进行必要的工作。

示例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(Q, R))  # a does equal QR
True
>>> R2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(R, R2)  # mode='r' returns the same R as mode='full'
True
>>> a = np.random.normal(size=(3, 2, 2)) # Stack of 2 x 2 matrices as input
>>> Q, R = np.linalg.qr(a)
>>> Q.shape
(3, 2, 2)
>>> R.shape
(3, 2, 2)
>>> np.allclose(a, np.matmul(Q, R))
True

示例说明了qr 的常见用途：求解最小二乘问题

对于以下数据：{(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}，y = y0 + mx 中的最小二乘最佳m和y0是什么？（绘制这些点，你会发现它应该是 y0 = 0，m = 1。）答案是通过求解超定矩阵方程Ax = b 来提供的，其中

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

如果 A = QR，使得 Q 是正交的（这总是可以通过 Gram-Schmidt 方法实现的），则x = inv(R) * (Q.T) * b。（然而，在 NumPy 中，我们只需使用lstsq。）

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 2, 2, 3])
>>> Q, R = np.linalg.qr(A)
>>> p = np.dot(Q.T, b)
>>> np.dot(np.linalg.inv(R), p)
array([  1.,   1.])
本页内容