numpy.linalg.matrix_rank

linalg.matrix_rank(A, tol=None, hermitian=False, *, rtol=None)

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于tol的奇异值的个数。

参数：

A{(M,), (…, M, N)} array_like

输入向量或矩阵堆栈。

tol(…) array_like, float, 可选

低于此阈值的奇异值将被视为零。如果tol为 None，并且S是具有M奇异值的数组，并且eps是S数据类型的 epsilon 值，则tol设置为S.max() * max(M, N) * eps。

hermitianbool, 可选

如果为 True，则假定A为 Hermitian 矩阵（如果为实值，则为对称矩阵），从而可以采用更有效的方法查找奇异值。默认为 False。

rtol(…) array_like, float, 可选

相对容差分量的参数。一次只能设置tol或rtol。默认为max(M, N) * eps。

2.0.0 版中的新功能。

返回：

rank(…) array_like

A 的秩。

备注

检测秩亏缺的默认阈值是对A奇异值大小的检验。默认情况下，我们将小于S.max() * max(M, N) * eps的奇异值识别为表示秩亏缺（其中符号如上定义）。这是 MATLAB 使用的算法 [1]。它也出现在《数值方法》中，讨论了线性最小二乘法的 SVD 解 [2]。

此默认阈值旨在检测考虑到 SVD 计算的数值误差的秩亏缺。假设A中有一列是A中其他列的精确（在浮点数中）线性组合。一般来说，对A计算 SVD 不会产生完全等于 0 的奇异值：最小奇异值与 0 的任何差异都是由 SVD 计算中的数值不精确引起的。我们对小奇异值的阈值考虑了这种数值不精确，默认阈值将检测这种数值秩亏缺。即使一些列的A的线性组合并不完全等于A的另一列，而只是数值上非常接近A的另一列，该阈值也可能声明矩阵A秩亏缺。

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用。其他阈值也是可能的。例如，《数值方法》2007 年版的其他地方有一个替代阈值S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.)。作者将此阈值描述为基于“预期的舍入误差”（第 71 页）。

上述阈值处理了 SVD 计算中的浮点舍入误差。但是，您可能拥有更多关于A中误差来源的信息，这将使您考虑其他容差值来检测有效秩亏缺。容差最有用的度量取决于您打算对矩阵执行的操作。例如，如果您的数据来自不确定性大于浮点 epsilons 的不确定测量，则选择接近该不确定性的容差可能更好。如果误差是绝对误差而不是相对误差，则容差可能是绝对误差。

参考文献

[1]

MATLAB 参考文档，“秩” https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

[2]

W. H. Press、S. A. Teukolsky、W. T. Vetterling 和 B. P. Flannery，“数值方法（第三版）”，剑桥大学出版社，2007 年，第 795 页。

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0