numpy.linalg.eig#

linalg.eig(a)[source]#

计算方阵的特征值和右特征向量。

参数：
a(…, M, M) 数组

将计算其特征值和右特征向量的矩阵。

返回值：
一个具有以下属性的命名元组
eigenvalues(…, M) 数组

特征值，每个特征值根据其重数重复出现。特征值不一定是有序的。除非虚部为零，否则结果数组将为复数类型，在这种情况下，它将转换为实数类型。当 a 为实数时，所得特征值将为实数（虚部为 0）或成共轭对出现。

eigenvectors(…, M, M) 数组

归一化（单位“长度”）的特征向量，使得列 eigenvectors[:,i] 是对应于特征值 eigenvalues[i] 的特征向量。

引发：
LinAlgError

如果特征值计算不收敛。

另请参见

eigvals

非对称阵的特征值。

eigh

实对称阵或复厄米特（共轭对称）阵的特征值和特征向量。

eigvalsh

实对称阵或复厄米特（共轭对称）阵的特征值。

scipy.linalg.eig

SciPy 中的类似函数，也求解广义特征值问题。

scipy.linalg.schur

对于酉矩阵和其他非厄米特正规矩阵的最佳选择。

注释

广播规则适用，详情请参阅 numpy.linalg 文档。

这是使用 _geev LAPACK 例程实现的，该例程计算一般方阵的特征值和特征向量。

如果存在向量 v 使得 a @ v = w * v，则数字 w 是 a 的特征值。因此，数组 a、eigenvalues 和 eigenvectors 满足方程 a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]，其中 \(i \in \{0,...,M-1\}\)。

数组 eigenvectors 可能不是最大秩的，也就是说，一些列可能线性相关，尽管舍入误差可能会掩盖这一事实。如果所有特征值都不同，那么理论上特征向量是线性无关的，并且 a 可以通过使用 eigenvectors 进行相似变换对角化，即 inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors 是对角阵。

对于非厄米特正规矩阵，SciPy 函数 scipy.linalg.schur 更为可取，因为矩阵 eigenvectors 保证是酉矩阵，而使用 eig 时则并非如此。Schur 分解产生一个上三角矩阵而不是对角矩阵，但对于正规矩阵，只需要上三角矩阵的对角线，其余的是舍入误差。

最后，需要强调的是，eigenvectors 由 a 的右（如右手边）特征向量组成。满足 y.T @ a = z * y.T（对于某个数字 z）的向量 y 称为 a 的左特征向量，并且通常情况下，矩阵的左特征向量和右特征向量不一定是（可能共轭的）彼此的转置。

参考文献

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, Various pp.

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA

具有实特征值和特征向量的（几乎）平凡示例。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> eigenvalues
array([1., 2., 3.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有复特征值和特征向量的实矩阵；请注意，特征值彼此共轭。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> eigenvalues
array([1.+1.j, 1.-1.j])
>>> eigenvectors
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

具有实特征值（但具有复特征向量）的复值矩阵；请注意 a.conj().T == a，即 a 是厄米特矩阵。

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([2.+0.j, 0.+0.j])
>>> eigenvectors
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

注意舍入误差！

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([1., 1.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])
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