在NumPy中确定静态平衡#
在分析物理结构时，了解使其保持稳定的力学原理至关重要。施加在地板、横梁或任何其他结构上的力会产生反作用力和力矩。这些反作用力是结构在不破坏的情况下抵抗运动的表现。在结构尽管受到力作用但仍不移动的情况下，牛顿第二定律指出，系统中的加速度和所有方向上的力之和都必须为零。您可以使用NumPy数组来表示和解决这个概念。
您将做什么：#
在本教程中，您将使用NumPy数组创建向量和力矩。
解决涉及电缆和地板支撑结构的问题。
编写NumPy矩阵来隔离未知数。
使用NumPy函数执行线性代数运算。
您将学到什么：#
如何用NumPy表示点、向量和力矩。
如何找到向量的法线。
使用NumPy进行矩阵计算。
您将需要什么：#
NumPy
用以下命令导入
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
在本教程中，您将使用以下NumPy工具
np.linalg.norm：此函数确定向量的量度大小。np.cross：此函数接受两个矩阵并产生叉积。
用牛顿第二定律求解平衡#
您的模型由一根受到一系列力和力矩作用的横梁组成。您可以从牛顿第二定律开始分析这个系统。
为了简化所考察的例子，假设它们是静止的，加速度\(=0\)。由于我们的系统存在于三维空间中，因此考虑在每个维度上施加的力。这意味着您可以将这些力表示为向量。对于力矩，您得出相同的结论，力矩是由于力作用于离物体质心一定距离处而产生的。
假设力\(F\)表示为三维向量
其中三个分量分别代表在相应方向上施加的力的大小。还假设向量中的每个分量
是每个力分量施加点与系统质心之间的距离。那么，力矩可以计算为
从一些简单的力向量示例开始
forceA = np.array([1, 0, 0])
forceB = np.array([0, 1, 0])
print("Force A =", forceA)
print("Force B =", forceB)
Force A = [1 0 0]
Force B = [0 1 0]
这定义了forceA为在\(x\)方向上大小为1的向量，forceB为在\(y\)方向上大小为1的向量。
可视化这些力可能有助于更好地理解它们之间的相互作用。Matplotlib是一个包含可视化工具的库，可用于此目的。Quiver图将用于演示三维向量，但该库也可用于二维演示。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0]) # defining the point of application. Make it the origin
u, v, w = forceA # breaking the force vector into individual components
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
plt.legend()
plt.show()
有两个力从一个点发出。为了简化这个问题，您可以将它们相加，以找到力的总和。请注意，forceA和forceB都是三维向量，由NumPy表示为具有三个分量的数组。由于NumPy旨在简化和优化向量之间的操作，您可以轻松地计算这两个向量的总和，如下所示
forceC = forceA + forceB
print("Force C =", forceC)
Force C = [1 1 0]
力C现在充当一个单一的力，代表A和B。您可以绘制它来查看结果。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
u, v, w = forceC
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="g", label="forceC")
plt.legend()
plt.show()
然而，目标是平衡。这意味着您希望您的力的总和为\((0, 0, 0)\)，否则您的物体将经历加速度。因此，需要有另一个力来抵消之前的力。
您可以将这个问题写为\(A+B+R=0\)，其中\(R\)是解决问题的反作用力。
在这个例子中，这意味着
分解为\(x\)、\(y\)和\(z\)分量，这给您
求解\(R_x\)、\(R_y\)和\(R_z\)，得到向量\(R\)为\((-1, -1, 0)\)。
如果绘制出来，先前示例中看到的力应该被抵消。只有当没有力剩余时，系统才被认为是处于平衡状态。
R = np.array([-1, -1, 0])
fig = plt.figure()
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA + forceB + R # add them all together for sum of forces
d3.quiver(x, y, z, u, v, w)
plt.show()
空白图表示没有外部力。这表示系统处于平衡状态。
将力矩和求解平衡#
接下来，让我们转向一个更复杂的应用。当力不都作用在同一点时，会产生力矩。
与力类似，这些力矩的总和也必须为零，否则将发生旋转加速度。与力的总和类似，这为空间中的三个坐标方向中的每一个都创建了一个线性方程。
一个简单的例子是力作用在一个固定在地面的静止杆上。杆不移动，所以它必须施加一个反作用力。杆也不旋转，所以它也必须产生一个反作用力矩。求解反作用力和力矩。
假设一个5N的力垂直作用在杆基座上方2m处。
f = 5 # Force in newtons
L = 2 # Length of the pole
R = 0 - f
M = 0 - f * L
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = -5
Reaction moment = -10
用物理性质寻找值#
假设不是力垂直作用于横梁，而是通过一根也连接到地面的电线施加到我们的杆上。给定这根电线的张力，您只需要这些物体的物理位置就可以解决这个问题。
为了响应作用在杆上的力，基座在x和y方向上产生了反作用力，以及一个反作用力矩。
将杆的基座标记为原点。现在，假设电线在x方向上连接到地面3m处，并在z方向上连接到杆2m处。
将这些空间点定义为NumPy数组，然后使用这些数组来找到方向向量。
poleBase = np.array([0, 0, 0])
cordBase = np.array([3, 0, 0])
cordConnection = np.array([0, 0, 2])
poleDirection = cordConnection - poleBase
print("Pole direction =", poleDirection)
cordDirection = cordBase - cordConnection
print("Cord direction =", cordDirection)
Pole direction = [0 0 2]
Cord direction = [ 3 0 -2]
为了在与力相关的方面使用这些向量，您需要将它们转换为单位向量。单位向量的大小为一，只表示力的方向。
cordUnit = cordDirection / np.linalg.norm(cordDirection)
print("Cord unit vector =", cordUnit)
Cord unit vector = [ 0.83205029 0. -0.5547002 ]
然后，您可以将此方向与力的大小相乘，以找到力向量。
假设电线的张力为5N
cordTension = 5
forceCord = cordUnit * cordTension
print("Force from the cord =", forceCord)
Force from the cord = [ 4.16025147 0. -2.77350098]
为了找到力矩，您需要力向量和半径的叉积。
momentCord = np.cross(forceCord, poleDirection)
print("Moment from the cord =", momentCord)
Moment from the cord = [ 0. -8.32050294 0. ]
现在您只需找到反作用力和力矩。
equilibrium = np.array([0, 0, 0])
R = equilibrium - forceCord
M = equilibrium - momentCord
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = [-4.16025147 0. 2.77350098]
Reaction moment = [0. 8.32050294 0. ]
另一个例子#
让我们看一个稍微复杂的模型。在这个例子中，您将观察一根带有两根电缆和一个作用力的横梁。这次您需要找出电缆中的张力以及横梁的反作用力。(来源：工程师矢量力学：静力学与动力学，问题4.106)
定义距离a为3米
和以前一样，首先将每个相关点的位置定义为一个数组。
A = np.array([0, 0, 0])
B = np.array([0, 3, 0])
C = np.array([0, 6, 0])
D = np.array([1.5, 0, -3])
E = np.array([1.5, 0, 3])
F = np.array([-3, 0, 2])
从这些方程中，您首先使用单位向量确定向量方向。
AB = B - C
AC = C - A
BD = D - B
BE = E - B
CF = F - C
UnitBD = BD / np.linalg.norm(BD)
UnitBE = BE / np.linalg.norm(BE)
UnitCF = CF / np.linalg.norm(CF)
RadBD = np.cross(AB, UnitBD)
RadBE = np.cross(AB, UnitBE)
RadCF = np.cross(AC, UnitCF)
这让您将作用在系统上的张力(T)和反作用力(R)表示为
力矩表示为
其中\(T\)是相应电缆中的张力，\(R\)是相应方向上的反作用力。那么您就有六个方程
\(\sum F_{x} = 0 = T_{BE}/3+T_{BD}/3-195+R_{x}\)
\(\sum F_{y} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}-\frac{2}{3}T_{BD}-390+R_{y}\)
\(\sum F_{z} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}+\frac{2}{3}T_{BD}+130+R_{z}\)
\(\sum M_{x} = 0 = 780+2T_{BE}-2T_{BD}\)
\(\sum M_{z} = 0 = 1170-T_{BE}-T_{BD}\)
您现在有五个未知数和五个方程，可以求解
\(\ T_{BD} = 780N\)
\(\ T_{BE} = 390N\)
\(\ R_{x} = -195N\)
\(\ R_{y} = 1170N\)
\(\ R_{z} = 130N\)
总结#
您已经学会了如何使用数组来表示三维空间中的点、力和力矩。数组中的每个条目都可以用来表示分解为方向分量的物理属性。然后，这些属性可以轻松地使用NumPy函数进行操作。
其他应用#
同样的过程可以应用于动力学问题或任何维数的问题。本教程中的例子假设的是静力平衡中的三维问题。这些方法可以很容易地用于更多样化的问题。更多或更少的维度需要更大或更小的数组来表示。在经历加速度的系统中，速度和加速度也可以类似地表示为向量。