使用 NumPy 确定静力平衡#
在分析物理结构时，理解保持其稳定的力学至关重要。作用于地板、梁或任何其他结构上的外力会产生反作用力和力矩。这些反作用是结构在不破坏的情况下抵抗运动。在结构尽管受到外力作用但不移动的情况下，牛顿第二定律指出，系统中所有方向的加速度和力的总和都必须为零。您可以使用 NumPy 数组表示和解决此概念。
您将做什么：#
在本教程中，您将使用 NumPy 使用 NumPy 数组创建向量和力矩
解决涉及电缆和地板支撑结构的问题
编写 NumPy 矩阵以隔离未知数
使用 NumPy 函数执行线性代数运算
您将学到什么：#
如何用 NumPy 表示点、向量和力矩。
如何找到向量的法线
使用 NumPy 计算矩阵计算
您需要什么：#
NumPy
使用以下命令导入
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
在本教程中，您将使用以下 NumPy 工具
np.linalg.norm：此函数确定向量大小的度量np.cross：此函数接受两个矩阵并产生叉积
用牛顿第二定律求解平衡#
您的模型由承受力和力矩之和的梁组成。您可以用牛顿第二定律开始分析这个系统
为了简化所考虑的例子，假设它们是静止的，加速度\(=0\)。由于我们的系统存在于三个维度中，因此考虑在这些维度中的每一个维度上施加的力。这意味着您可以将这些力表示为向量。对于力矩，您得出相同的结论，力矩是由力作用于物体的质心一定距离之外而产生的。
假设力\(F\)表示为三维向量
其中三个分量中的每一个都表示在每个相应方向上施加的力的幅度。还假设向量中的每个分量
是施加力的每个分量与系统质心之间的距离。然后，力矩可以通过以下方式计算
从一些简单的力向量示例开始
forceA = np.array([1, 0, 0])
forceB = np.array([0, 1, 0])
print("Force A =", forceA)
print("Force B =", forceB)
Force A = [1 0 0]
Force B = [0 1 0]
这将forceA定义为在\(x\)方向上大小为 1 的向量，并将forceB定义为在\(y\)方向上大小为 1 的向量。
为了更好地理解这些力如何相互作用，将这些力可视化可能会有所帮助。Matplotlib 是一个具有可视化工具的库，可用于此目的。将使用羽状图来演示三维向量，但该库也可用于二维演示。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0]) # defining the point of application. Make it the origin
u, v, w = forceA # breaking the force vector into individual components
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
plt.legend()
plt.show()
有两个力从单个点发出。为了简化这个问题，您可以将它们加在一起以找到力的总和。请注意，forceA和forceB都是三维向量，由 NumPy 表示为具有三个分量的数组。因为 NumPy 旨在简化和优化向量之间的运算，所以您可以轻松地计算这两个向量的总和，如下所示
forceC = forceA + forceB
print("Force C =", forceC)
Force C = [1 1 0]
现在，力 C 充当代表 A 和 B 的单个力。您可以绘制它以查看结果。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
u, v, w = forceC
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="g", label="forceC")
plt.legend()
plt.show()
但是，目标是平衡。这意味着您希望您的合力为\((0, 0, 0)\)，否则您的物体将经历加速度。因此，需要另一种力来抵消先前的力。
您可以将此问题写成\(A+B+R=0\)，其中\(R\)是解决问题的反作用力。
在这个例子中，这意味着
分解为\(x\)、\(y\)和\(z\)分量，这为您提供
求解\(R_x\)、\(R_y\)和\(R_z\)为您提供一个\(R\)向量\((-1, -1, 0)\)。
如果绘制出来，前面示例中看到的力应该会被抵消。只有在没有剩余力的情况下，系统才被认为处于平衡状态。
R = np.array([-1, -1, 0])
fig = plt.figure()
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA + forceB + R # add them all together for sum of forces
d3.quiver(x, y, z, u, v, w)
plt.show()
空图表表示没有异常力。这表示系统处于平衡状态。
将平衡求解为力矩之和#
接下来，让我们转向一个更复杂的应用。当力并非都作用于同一点时，就会产生力矩。
与力相似，这些力矩也必须全部加起来等于零，否则将产生旋转加速度。与力的总和类似，这为空间中的三个坐标方向中的每一个创建了一个线性方程。
一个简单的例子是作用于固定在地面上的静止杆上的力。杆不动，所以它必须施加反作用力。杆也不旋转，所以它也必须产生反作用力矩。求解反作用力和力矩。
假设垂直于杆施加 5N 的力，距杆底部 2m 高。
f = 5 # Force in newtons
L = 2 # Length of the pole
R = 0 - f
M = 0 - f * L
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = -5
Reaction moment = -10
查找具有物理属性的值#
假设作用于梁的力不是垂直于梁的力，而是通过也连接到地面的电线作用于我们的杆上的力。给定此绳索中的张力，您只需要解决此问题即可找到这些物体的物理位置。
为了响应作用于杆上的力，底座在 x 和 y 方向上产生了反作用力，以及一个反作用力矩。
将杆的底部表示为原点。现在，假设绳索在 x 方向上连接到地面 3m 处，并在 z 方向上连接到 2m 高的杆上。
将这些空间点定义为 NumPy 数组，然后使用这些数组查找方向向量。
poleBase = np.array([0, 0, 0])
cordBase = np.array([3, 0, 0])
cordConnection = np.array([0, 0, 2])
poleDirection = cordConnection - poleBase
print("Pole direction =", poleDirection)
cordDirection = cordBase - cordConnection
print("Cord direction =", cordDirection)
Pole direction = [0 0 2]
Cord direction = [ 3 0 -2]
为了将这些向量与力相关联地使用，您需要将它们转换为单位向量。单位向量的大小为 1，并且仅表示力的方向。
cordUnit = cordDirection / np.linalg.norm(cordDirection)
print("Cord unit vector =", cordUnit)
Cord unit vector = [ 0.83205029 0. -0.5547002 ]
然后，您可以将此方向与力的幅度相乘，以找到力向量。
假设绳索的张力为 5N
cordTension = 5
forceCord = cordUnit * cordTension
print("Force from the cord =", forceCord)
Force from the cord = [ 4.16025147 0. -2.77350098]
为了找到力矩，您需要力向量和半径的叉积。
momentCord = np.cross(forceCord, poleDirection)
print("Moment from the cord =", momentCord)
Moment from the cord = [ 0. -8.32050294 0. ]
现在您只需找到反作用力和力矩。
equilibrium = np.array([0, 0, 0])
R = equilibrium - forceCord
M = equilibrium - momentCord
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = [-4.16025147 0. 2.77350098]
Reaction moment = [0. 8.32050294 0. ]
另一个例子#
让我们来看一个稍微复杂一点的模型。在这个例子中，您将观察一个带有两根电缆和一个外力的梁。这次您需要找到绳索中的张力以及梁的反作用力。（来源：工程师的矢量力学：静力学，问题 4.106）
将距离 *a* 定义为 3 米
和以前一样，首先将每个相关点的位点定义为一个数组。
A = np.array([0, 0, 0])
B = np.array([0, 3, 0])
C = np.array([0, 6, 0])
D = np.array([1.5, 0, -3])
E = np.array([1.5, 0, 3])
F = np.array([-3, 0, 2])
根据这些方程，您首先使用单位向量确定向量方向。
AB = B - C
AC = C - A
BD = D - B
BE = E - B
CF = F - C
UnitBD = BD / np.linalg.norm(BD)
UnitBE = BE / np.linalg.norm(BE)
UnitCF = CF / np.linalg.norm(CF)
RadBD = np.cross(AB, UnitBD)
RadBE = np.cross(AB, UnitBE)
RadCF = np.cross(AC, UnitCF)
这允许您将作用于系统的张力 (T) 和反作用力 (R) 表示为
以及力矩为：
其中\(T\)表示各绳索中的张力，\(R\)表示各方向上的反作用力。然后你将得到六个方程：
\(\sum F_{x} = 0 = T_{BE}/3+T_{BD}/3-195+R_{x}\)
\(\sum F_{y} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}-\frac{2}{3}T_{BD}-390+R_{y}\)
\(\sum F_{z} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}+\frac{2}{3}T_{BD}+130+R_{z}\)
\(\sum M_{x} = 0 = 780+2T_{BE}-2T_{BD}\)
\(\sum M_{z} = 0 = 1170-T_{BE}-T_{BD}\)
现在你有五个未知数和五个方程，可以解出：
\(\ T_{BD} = 780N\)
\(\ T_{BE} = 390N\)
\(\ R_{x} = -195N\)
\(\ R_{y} = 1170N\)
\(\ R_{z} = 130N\)
总结#
您已经学习了如何使用数组来表示三维空间中的点、力矩。数组中的每个条目都可以用来表示分解成方向分量的物理属性。然后可以使用NumPy函数轻松地操作这些属性。
其他应用#
同样的过程可以应用于动力学问题或任何维数的问题。本教程中的示例假设了静态平衡下的三维问题。这些方法可以很容易地用于更多样的问题。更多或更少的维度需要更大或更小的数组来表示。在经历加速度的系统中，速度和加速度也可以类似地表示为向量。