使用 NumPy 中的真实数据确定摩尔定律#

Scatter plot of MOS transistor count per microprocessor every two years as a demonstration of Moore's Law.

在 y 轴的对数刻度上绘制给定芯片上报告的晶体管数量，并在线性刻度 x 轴上绘制引入日期。蓝色数据点来自晶体管计数表。红线是普通最小二乘预测，橙线是摩尔定律。

您将做什么#

1965 年，工程师戈登·摩尔预测，芯片上的晶体管数量在未来十年内每两年翻一番[1，2]。您将比较摩尔的预测与他预测后 53 年的实际晶体管数量。您将确定最佳拟合常数，以描述与摩尔定律相比，半导体上晶体管的指数增长。

您将学习的技能#

从*.csv 文件加载数据
执行线性回归并使用普通最小二乘法预测指数增长
您将比较模型之间的指数增长常数
在文件中共享您的分析
- 作为 NumPy 压缩文件 *.npz
- 作为 *.csv 文件
评估半导体制造商在过去五十年取得的惊人进步

您需要什么#

1. 这些包

NumPy
Matplotlib

使用以下命令导入

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

2. 由于这是指数增长定律，因此您需要一些使用自然对数和指数进行数学运算的背景知识。

您将使用这些 NumPy 和 Matplotlib 函数

np.loadtxt：此函数将文本加载到 NumPy 数组中
np.log：此函数获取 NumPy 数组中所有元素的自然对数
np.exp：此函数获取 NumPy 数组中所有元素的指数
lambda：这是用于创建函数模型的最小函数定义
plt.semilogy：此函数将 xy 数据绘制到具有线性 x 轴和\(\log_{10}\) y 轴的图形上 plt.plot：此函数将在线性轴上绘制 xy 数据
切片数组：查看加载到工作区中的数据的一部分，切片数组，例如 x[:10] 用于数组 x 中的前 10 个值
布尔数组索引：要查看与给定条件匹配的数据的一部分，请使用布尔运算来索引数组
np.block：将数组组合成 2D 数组
np.newaxis：将 1D 向量更改为行向量或列向量
np.savez 和 np.savetxt：这两个函数将分别以压缩数组格式和文本格式保存您的数组

将摩尔定律构建为指数函数#

您的经验模型假设每个半导体的晶体管数量遵循指数增长，

\(\log(\text{transistor_count})= f(\text{year}) = A\cdot \text{year}+B,\)

其中\(A\) 和\(B\) 是拟合常数。您使用半导体制造商的数据来查找拟合常数。

您通过指定添加晶体管的速率 2 并为给定年份提供初始晶体管数量来确定摩尔定律的这些常数。

您将摩尔定律以指数形式表示如下，

\(\text{transistor_count}= e^{A_M\cdot \text{year} +B_M}.\)

其中\(A_M\) 和\(B_M\) 是使晶体管数量每两年翻一番并在 1971 年开始时为 2250 个晶体管的常数，

\(\dfrac{\text{transistor_count}(\text{year} +2)}{\text{transistor_count}(\text{year})} = 2 = \dfrac{e^{B_M}e^{A_M \text{year} + 2A_M}}{e^{B_M}e^{A_M \text{year}}} = e^{2A_M} \rightarrow A_M = \frac{\log(2)}{2}\)
\(\log(2250) = \frac{\log(2)}{2}\cdot 1971 + B_M \rightarrow B_M = \log(2250)-\frac{\log(2)}{2}\cdot 1971\)

因此，摩尔定律表示为指数函数为

\(\log(\text{transistor_count})= A_M\cdot \text{year}+B_M,\)

其中

\(A_M=0.3466\)

\(B_M=-675.4\)

由于该函数表示摩尔定律，因此使用lambda将其定义为 Python 函数

A_M = np.log(2) / 2
B_M = np.log(2250) - A_M * 1971
Moores_law = lambda year: np.exp(B_M) * np.exp(A_M * year)

1971 年，英特尔 4004 芯片上有 2250 个晶体管。使用 Moores_law 检查戈登·摩尔预计 1973 年的半导体数量。

ML_1971 = Moores_law(1971)
ML_1973 = Moores_law(1973)
print("In 1973, G. Moore expects {:.0f} transistors on Intels chips".format(ML_1973))
print("This is x{:.2f} more transistors than 1971".format(ML_1973 / ML_1971))

In 1973, G. Moore expects 4500 transistors on Intels chips
This is x2.00 more transistors than 1971

将历史制造数据加载到您的工作区#

现在，根据每个芯片的半导体历史数据进行预测。晶体管计数 [4] 每年的数据都在 transistor_data.csv 文件中。在将 *.csv 文件加载到 NumPy 数组之前，最好先检查文件结构。然后，找到感兴趣的列并将它们保存到变量中。将文件的两列保存到数组 data 中。

在这里，打印出 transistor_data.csv 的前 10 行。列为

处理器	MOS 晶体管数量	引入日期	设计者	MOS 工艺	面积
英特尔 4004（4 位 16 引脚）	2250	1971	英特尔	“10,000 nm”	12 mm²
…	…	…	…	…	…

! head transistor_data.csv

Processor,MOS transistor count,Date of Introduction,Designer,MOSprocess,Area
Intel 4004 (4-bit  16-pin),2250,1971,Intel,"10,000 nm",12 mm²
Intel 8008 (8-bit  18-pin),3500,1972,Intel,"10,000 nm",14 mm²
NEC μCOM-4 (4-bit  42-pin),2500,1973,NEC,"7,500 nm",?
Intel 4040 (4-bit  16-pin),3000,1974,Intel,"10,000 nm",12 mm²
Motorola 6800 (8-bit  40-pin),4100,1974,Motorola,"6,000 nm",16 mm²
Intel 8080 (8-bit  40-pin),6000,1974,Intel,"6,000 nm",20 mm²
TMS 1000 (4-bit  28-pin),8000,1974,Texas Instruments,"8,000 nm",11 mm²
MOS Technology 6502 (8-bit  40-pin),4528,1975,MOS Technology,"8,000 nm",21 mm²
Intersil IM6100 (12-bit  40-pin; clone of PDP-8),4000,1975,Intersil,,

您不需要指定**处理器**、**设计者**、**MOS 工艺**或**面积**的列。剩下的就是第二列和第三列，分别是**MOS 晶体管数量**和**引入日期**。

接下来，您使用np.loadtxt将这两列加载到 NumPy 数组中。下面的额外选项将使数据采用所需的格式

delimiter = ','：将分隔符指定为逗号 ‘,’（这是默认行为）
usecols = [1,2]：从 csv 中导入第二列和第三列
skiprows = 1：不要使用第一行，因为它是一行标题行

data = np.loadtxt("transistor_data.csv", delimiter=",", usecols=[1, 2], skiprows=1)

您已将半导体的整个历史加载到名为 data 的 NumPy 数组中。第一列是**MOS 晶体管数量**，第二列是以四位数年份表示的**引入日期**。

接下来，通过将两列分配给变量 year 和 transistor_count，使数据更易于阅读和管理。通过使用 [:10] 切片 year 和 transistor_count 数组，打印出前 10 个值。打印这些值以检查您是否已将数据保存到正确的变量中。

year = data[:, 1]  # grab the second column and assign
transistor_count = data[:, 0]  # grab the first column and assign

print("year:\t\t", year[:10])
print("trans. cnt:\t", transistor_count[:10])

year:		 [1971. 1972. 1973. 1974. 1974. 1974. 1974. 1975. 1975. 1975.]
trans. cnt:	 [2250. 3500. 2500. 3000. 4100. 6000. 8000. 4528. 4000. 5000.]

您正在创建一个根据年份预测晶体管数量的函数。您有一个自变量 year 和一个因变量 transistor_count。将因变量转换为对数刻度，

\(y_i = \log(\) transistor_count[i] \(),\)

得到一个线性方程，

\(y_i = A\cdot \text{year} +B\).

yi = np.log(transistor_count)

计算晶体管的历史增长曲线#

您的模型假设 yi 是 year 的函数。现在，找到最佳拟合模型，该模型最大程度地减少 \(y_i\) 和 \(A\cdot \text{year} +B, \) 之间的差异，如下所示

\(\min \sum|y_i - (A\cdot \text{year}_i + B)|^2.\)

此平方误差和可以简洁地表示为数组，如下所示

\(\sum|\mathbf{y}-\mathbf{Z} [A,~B]^T|^2,\)

其中\(\mathbf{y}\) 是 1D 数组中晶体管数量的对数的观测值，\(\mathbf{Z}=[\text{year}_i^1,~\text{year}_i^0]\) 是第一列和第二列中 \(\text{year}_i\) 的多项式项。通过在\(\mathbf{Z}-\)矩阵中创建此回归量集，您建立了一个普通最小二乘统计模型。

Z 是一个具有两个参数的线性模型，即度数为 1 的多项式。因此，我们可以使用 numpy.polynomial.Polynomial 表示模型，并使用拟合功能来确定模型参数

model = np.polynomial.Polynomial.fit(year, yi, deg=1)

默认情况下，Polynomial.fit 在自变量（在本例中为 year）确定的域中执行拟合。可以使用 convert 方法恢复未缩放和未平移模型的系数

model = model.convert()
model

\[x \mapsto \text{-666.32640635} + \text{0.34163208}\,x\]

各个参数\(A\) 和\(B\) 是线性模型的系数

B, A = model

制造商是否每两年将晶体管数量翻一番？您有最终公式，

\(\dfrac{\text{transistor_count}(\text{year} +2)}{\text{transistor_count}(\text{year})} = xFactor = \dfrac{e^{B}e^{A( \text{year} + 2)}}{e^{B}e^{A \text{year}}} = e^{2A}\)

其中晶体管数量的增加为\(xFactor,\) 年数为 2，\(A\) 是半对数函数上的最佳拟合斜率。

print(f"Rate of semiconductors added on a chip every 2 years: {np.exp(2 * A):.2f}")

Rate of semiconductors added on a chip every 2 years: 1.98

根据您的最小二乘回归模型，每个芯片的半导体数量每两年增加 \(1.98\) 倍。您有一个可以预测每年半导体数量的模型。现在将您的模型与实际制造报告进行比较。绘制线性回归结果和所有晶体管计数。

在这里，使用plt.semilogy在对数刻度上绘制晶体管数量，在线性刻度上绘制年份。您已定义了三个数组以获得最终模型

\(y_i = \log(\text{transistor_count}),\)

\(y_i = A \cdot \text{year} + B,\)

和

\(\log(\text{transistor_count}) = A\cdot \text{year} + B,\)

您的变量 transistor_count、year 和 yi 都有相同的维度 (179,)。NumPy 数组需要相同的维度才能绘制图形。预测的晶体管数量现在为

\(\text{transistor_count}_{\text{predicted}} = e^Be^{A\cdot \text{year}}\).

在下一个图中，使用fivethirtyeight样式表。样式表复制了 https://fivethirtyeight.com 的元素。使用plt.style.use更改 matplotlib 样式。

transistor_count_predicted = np.exp(B) * np.exp(A * year)
transistor_Moores_law = Moores_law(year)
plt.style.use("fivethirtyeight")
plt.semilogy(year, transistor_count, "s", label="MOS transistor count")
plt.semilogy(year, transistor_count_predicted, label="linear regression")


plt.plot(year, transistor_Moores_law, label="Moore's Law")
plt.title(
    "MOS transistor count per microprocessor\n"
    + "every two years \n"
    + "Transistor count was x{:.2f} higher".format(np.exp(A * 2))
)
plt.xlabel("year introduced")
plt.legend(loc="center left", bbox_to_anchor=(1, 0.5))
plt.ylabel("# of transistors\nper microprocessor")

Text(0, 0.5, '# of transistors\nper microprocessor')

../_images/85162e69500e81ccac513104b7aabad896dc5016708632bdbd7c9c3a0c9d8b55.png

每两年一次微处理器的 MOS 晶体管数量的散点图，其中红线表示普通最小二乘预测，橙线表示摩尔定律。

线性回归捕捉了每个芯片的半导体晶体管数量的增加。2015 年，半导体制造商声称他们再也无法跟上摩尔定律。您的分析表明，自 1971 年以来，晶体管数量的平均增长率为每两年 x1.98，但戈登·摩尔预测每两年将增长 x2。这是一个惊人的预测。

考虑2017年。将数据与你的线性回归模型和戈登·摩尔的预测进行比较。首先，获取2017年的晶体管数量。你可以使用布尔比较器来实现，

year == 2017.

然后，使用上面定义的Moores_law，并将你最佳拟合的常数代入你的函数中，预测2017年的晶体管数量。

\(\text{transistor_count} = e^{B}e^{A\cdot \text{year}}\).

比较这些测量值的一个好方法是将你的预测和摩尔的预测与平均晶体管数量进行比较，并观察当年报告值的范围。使用plt.plot选项alpha=0.2来提高数据的透明度。点显示越不透明，表示在该测量值上报告的值越多。绿色\(+\)是2017年报告的平均晶体管数量。绘制你对±1/2年的预测。

transistor_count2017 = transistor_count[year == 2017]
print(
    transistor_count2017.max(), transistor_count2017.min(), transistor_count2017.mean()
)
y = np.linspace(2016.5, 2017.5)
your_model2017 = np.exp(B) * np.exp(A * y)
Moore_Model2017 = Moores_law(y)

plt.plot(
    2017 * np.ones(np.sum(year == 2017)),
    transistor_count2017,
    "ro",
    label="2017",
    alpha=0.2,
)
plt.plot(2017, transistor_count2017.mean(), "g+", markersize=20, mew=6)

plt.plot(y, your_model2017, label="Your prediction")
plt.plot(y, Moore_Model2017, label="Moores law")
plt.ylabel("# of transistors\nper microprocessor")
plt.legend()

19200000000.0 250000000.0 7050000000.0

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f684cf9e5c0>

../_images/de56d8475573db439c81b6991f8986a681fc818dc513671d95136628a18a7c70.png

结果表明，你的模型接近平均值，但戈登·摩尔的预测更接近2017年生产的每个微处理器上的最大晶体管数量。即使半导体制造商认为增长将会放缓，一次是在1975年，现在再次接近2025年，制造商仍然每两年生产一次半导体，晶体管数量几乎翻倍。

线性回归模型更擅长预测平均值而不是极值，因为它满足最小化\(\sum |y_i - A\cdot \text{year}[i]+B|^2\)的条件。

总结#

总之，你将半导体制造商的历史数据与摩尔定律进行了比较，并创建了一个线性回归模型来找到每两年添加到每个微处理器上的平均晶体管数量。戈登·摩尔预测，从1965年到1975年，晶体管数量每两年翻一番，但从1971年到2019年，平均增长率一直保持着每两年\(\times 1.98 \pm 0.01\)的稳定增长。2015年，摩尔修改了他的预测，称摩尔定律应该持续到2025年。[3]。你可以将这些结果作为压缩的NumPy数组文件mooreslaw_regression.npz或另一个csv文件mooreslaw_regression.csv共享。半导体制造技术的惊人进步催生了新的产业和计算能力。此分析应该让你对过去半个世纪的增长速度有多么惊人有所了解。

使用 NumPy 中的真实数据确定摩尔定律

内容

使用 NumPy 中的真实数据确定摩尔定律#

您将做什么#

您将学习的技能#

您需要什么#

将摩尔定律构建为指数函数#

将历史制造数据加载到您的工作区#

计算晶体管的历史增长曲线#

总结#

参考文献#

使用 NumPy 中的真实数据确定摩尔定律

内容

使用 NumPy 中的真实数据确定摩尔定律#

您将做什么#

您将学习的技能#

您需要什么#

将摩尔定律构建为指数函数#

将历史制造数据加载到您的工作区#

计算晶体管的历史增长曲线#

将你的结果作为压缩数组和csv文件共享#

将数组压缩到文件中#

创建自己的逗号分隔值文件#

总结#

参考文献#