numpy.cov#

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)[source]#

根据给定数据和权重估计协方差矩阵。

协方差表示两个变量一起变化的程度。如果我们考察 N 维样本 \(X = [x_1, x_2, ... x_N]^T\)，则协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差。元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差。

有关算法概述，请参阅注释。

参数:

m类数组: 包含多个变量和观测值的 1 维或 2 维数组。 m 的每一行代表一个变量，每一列代表所有这些变量的一个单独观测值。另请参阅下面的 rowvar。
y类数组, 可选: 一组额外的变量和观测值。 y 的形式与 m 相同。
rowvar布尔值, 可选: 如果 rowvar 为 True (默认值)，则每行代表一个变量，观测值在列中。否则，关系将转置：每列代表一个变量，而行包含观测值。
bias布尔值, 可选: 默认归一化 (False) 是通过 (N - 1) 进行的，其中 N 是给定的观测值数量（无偏估计）。如果 bias 为 True，则归一化是通过 N 进行的。这些值可以通过在 numpy 版本 >= 1.5 中使用关键字 ddof 来覆盖。
ddof整型, 可选: 如果不是 None，则会覆盖 bias 所隐含的默认值。请注意，即使同时指定了 fweights 和 aweights，ddof=1 也会返回无偏估计，而 ddof=0 将返回简单平均值。详细信息请参阅注释。默认值为 None。
fweights类数组, 整型, 可选: 整数频率权重的 1 维数组；每个观测向量应重复的次数。
aweights类数组, 可选: 观测向量权重的 1 维数组。对于被认为“重要”的观测值，这些相对权重通常较大，而对于被认为“不那么重要”的观测值，则较小。如果 ddof=0，则权重数组可用于为观测向量分配概率。
dtype数据类型, 可选: 结果的数据类型。默认情况下，返回的数据类型将至少具有 numpy.float64 精度。

1.20 版新增。

返回:

outndarray: 变量的协方差矩阵。

另请参阅

corrcoef: 归一化协方差矩阵

注释

假设观测值位于观测数组 m 的列中，为简洁起见，令 f = fweights 和 a = aweights。计算加权协方差的步骤如下：

>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64)
>>> f = np.arange(10) * 2
>>> a = np.arange(10) ** 2.
>>> ddof = 1
>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

请注意，当 a == 1 时，归一化因子 v1 / (v1**2 - ddof * v2) 将变为 1 / (np.sum(f) - ddof)，这符合预期。

示例

>>> import numpy as np

考虑两个变量 \(x_0\) 和 \(x_1\)，它们完美相关，但方向相反

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

注意 \(x_0\) 增加而 \(x_1\) 减少。协方差矩阵清楚地显示了这一点

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

请注意，元素 \(C_{0,1}\) 显示 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间的相关性为负。

此外，请注意 x 和 y 如何组合

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> np.cov(X)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x, y)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x)
array(11.71)