numpy.random.multivariate_normal

random.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8)

从多元正态分布中抽取随机样本。

多元正态分布、多项正态分布或高斯分布是一维正态分布到更高维度的推广。这种分布由其均值和协方差矩阵指定。这些参数类似于一维正态分布的均值（平均值或“中心”）和方差（标准差或“宽度”的平方）。

注意

新的代码应该使用 multivariate_normal Generator 实例的方法；请参见 快速入门。

参数：

mean长度为 N 的一维类数组

N 维分布的均值。

cov形状为 (N, N) 的二维类数组

分布的协方差矩阵。为了正确采样，它必须是对称的并且是半正定的。

size整数或整数元组，可选

给定一个形状，例如 (m,n,k)，将生成 m*n*k 个样本，并将其打包成 m 行 n 列 k 层的排列。因为每个样本都是 N 维的，所以输出形状为 (m,n,k,N)。如果没有指定形状，则返回单个（N 维）样本。

check_valid{'warn'，'raise'，'ignore'}，可选

协方差矩阵不是半正定时的行为。

tol浮点数，可选

检查协方差矩阵奇异值时的容差。在检查之前，cov 将转换为双精度。

返回：

outndarray

已抽取的样本，形状为 size（如果已提供）。如果没有，则形状为 (N,)。

换句话说，每个条目 out[i,j,...,:] 是从分布中抽取的 N 维值。

另请参见

random.Generator.multivariate_normal

这应该用于新代码。

注释

均值是 N 维空间中的一个坐标，它表示最有可能生成样本的位置。这类似于一维或单变量正态分布的钟形曲线的峰值。

协方差表示两个变量一起变化的程度。从多元正态分布中，我们抽取 N 维样本，\(X = [x_1, x_2, ... x_N]\)。协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差。\(C_{ii}\) 元素是 \(x_i\) 的方差（即它的“扩展”）。

除了指定完整的协方差矩阵之外，常用的近似方法包括

• 球形协方差（cov 是单位矩阵的倍数）

• 对角协方差（cov 具有非负元素，并且仅在对角线上）

通过绘制生成的数点，可以在二维中看到这种几何属性

>>> mean = [0, 0]
>>> cov = [[1, 0], [0, 100]]  # diagonal covariance

对角协方差意味着点沿着 x 轴或 y 轴定向

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
>>> plt.plot(x, y, 'x')
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.show()

请注意，协方差矩阵必须是半正定的（又名非负定的）。否则，此方法的行为未定义，并且不保证向后兼容性。

参考文献

[1]

Papoulis, A.，“概率、随机变量和随机过程”，第 3 版，纽约：麦格劳-希尔，1991 年。

[2]

Duda, R. O.，Hart, P. E. 和 Stork, D. G.，“模式分类”，第 2 版，纽约：Wiley，2001 年。

示例

>>> mean = (1, 2)
>>> cov = [[1, 0], [0, 1]]
>>> x = np.random.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
>>> x.shape
(3, 3, 2)

在这里，我们从均值为 [0, 0] 且协方差矩阵为 [[6, -3], [-3, 3.5]] 的二元正态分布中生成 800 个样本。样本的第一个和第二个分量的预期方差分别为 6 和 3.5，预期相关系数为 -3/sqrt(6*3.5) ≈ -0.65465。

>>> cov = np.array([[6, -3], [-3, 3.5]])
>>> pts = np.random.multivariate_normal([0, 0], cov, size=800)

检查样本的均值、协方差和相关系数是否接近预期值

>>> pts.mean(axis=0)
array([ 0.0326911 , -0.01280782])  # may vary
>>> np.cov(pts.T)
array([[ 5.96202397, -2.85602287],
       [-2.85602287,  3.47613949]])  # may vary
>>> np.corrcoef(pts.T)[0, 1]
-0.6273591314603949  # may vary

我们可以用散点图来可视化这些数据。点云的方向说明了此样本分量的负相关性。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(pts[:, 0], pts[:, 1], '.', alpha=0.5)
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.grid()
>>> plt.show()