广播#

另请参阅

numpy.broadcast

术语“广播”描述了 NumPy 在算术运算期间如何处理不同形状的数组。在满足某些约束条件下，较小的数组将在较大数组上“广播”，以便它们具有兼容的形状。广播提供了一种向量化数组运算的方法，以便在 C 而不是 Python 中发生循环。它在不进行不必要的复制数据的情况下执行此操作，通常会导致高效的算法实现。但是，在某些情况下，广播是一个不好的主意，因为它会导致内存使用效率低下，从而减慢计算速度。

NumPy 运算通常在两个数组上以逐元素的方式进行。在最简单的情况下，这两个数组必须具有完全相同的形状，如下例所示

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
>>> a * b
array([2.,  4.,  6.])

当数组的形状满足某些约束条件时，NumPy 的广播规则会放松此约束。最简单的广播示例发生在数组和标量值在运算中组合时

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([2.,  4.,  6.])

结果等效于前面的示例，其中 b 是一个数组。我们可以认为标量 b 在算术运算期间被拉伸成一个与 a 形状相同的数组。 b 中的新元素，如图 1所示，只是原始标量的副本。拉伸类比仅是概念上的。NumPy 足够智能，可以使用原始标量值而无需实际复制，以便广播操作尽可能地节省内存和计算效率。

A scalar is broadcast to match the shape of the 1-d array it is being multiplied to.

图 1#

在最简单的广播示例中，标量 b 被拉伸以成为与 a 形状相同的数组，以便形状对于逐元素乘法兼容。

第二个示例中的代码比第一个示例中的代码效率更高，因为广播在乘法期间移动的内存更少（b 是标量而不是数组）。

通用广播规则#

在对两个数组进行运算时，NumPy 会逐元素比较它们的形状。它从尾随（即最右边的）维度开始，并向左工作。当两个维度满足以下条件时，它们是兼容的：

  1. 它们相等，或者

  2. 其中一个为 1。

如果这些条件不满足，则会抛出 ValueError: operands could not be broadcast together 异常，指示数组具有不兼容的形状。

输入数组不需要具有相同数量的维度。结果数组将与具有最多维度的输入数组具有相同数量的维度，其中每个维度的大小是输入数组中相应维度中的最大大小。请注意，缺少的维度假定大小为 1。

例如，如果您有一个 256x256x3 的 RGB 值数组，并且您希望按不同的值缩放图像中的每种颜色，则可以将图像乘以一个具有 3 个值的单维数组。根据广播规则对齐这些数组的尾随轴的大小，表明它们是兼容的

Image  (3d array): 256 x 256 x 3
Scale  (1d array):             3
Result (3d array): 256 x 256 x 3

当比较的维度之一为 1 时，将使用另一个维度。换句话说，大小为 1 的维度会被拉伸或“复制”以匹配另一个维度。

在以下示例中，A 和 B 数组都具有长度为 1 的轴，这些轴在广播操作期间扩展到更大的大小

A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

可广播数组#

如果上述规则产生有效结果，则一组数组称为“可广播”到相同的形状。

例如，如果 a.shape 为 (5,1)，b.shape 为 (1,6)，c.shape 为 (6,) 且 d.shape 为 ()，以便d 为标量，则a、b、c 和d 都可广播到维度 (5,6)；并且

  • a 充当 (5,6) 数组，其中 a[:,0] 被广播到其他列，

  • b 充当 (5,6) 数组，其中 b[0,:] 被广播到其他行，

  • c 充当 (1,6) 数组，因此充当 (5,6) 数组，其中 c[:] 被广播到每一行，最后，

  • d 充当 (5,6) 数组，其中单个值被重复。

以下是一些更多示例

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      1
Result (2d array):  5 x 4

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      4
Result (2d array):  5 x 4

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (3d array):  15 x 1 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 1
Result (3d array):  15 x 3 x 5

以下是无法广播的形状示例

A      (1d array):  3
B      (1d array):  4 # trailing dimensions do not match

A      (2d array):      2 x 1
B      (3d array):  8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched

将一维数组添加到二维数组时的广播示例

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([[ 0.0,  0.0,  0.0],
...               [10.0, 10.0, 10.0],
...               [20.0, 20.0, 20.0],
...               [30.0, 30.0, 30.0]])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a + b
array([[  1.,   2.,   3.],
        [11.,  12.,  13.],
        [21.,  22.,  23.],
        [31.,  32.,  33.]])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
>>> a + b
Traceback (most recent call last):
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (4,)

如图 2所示，b 被添加到 a 的每一行。在图 3中，由于形状不兼容，因此引发了异常。

A 1-d array with shape (3) is stretched to match the 2-d array of shape (4, 3) it is being added to, and the result is a 2-d array of shape (4, 3).

图 2#

如果一维数组的元素数量与二维数组的列数匹配，则将一维数组添加到二维数组会导致广播。

A huge cross over the 2-d array of shape (4, 3) and the 1-d array of shape (4) shows that they can not be broadcast due to mismatch of shapes and thus produce no result.

图 3#

当数组的尾随维度不相等时，广播失败，因为无法将第一个数组的行中的值与第二个数组的元素对齐以进行逐元素加法。

广播提供了一种方便的方法来获取两个数组的外积（或任何其他外部运算）。以下示例显示了两个一维数组的外部加法运算

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[ 1.,   2.,   3.],
       [11.,  12.,  13.],
       [21.,  22.,  23.],
       [31.,  32.,  33.]])
A 2-d array of shape (4, 1) and a 1-d array of shape (3) are stretched to match their shapes and produce a resultant array of shape (4, 3).

图 4#

在某些情况下，广播会拉伸两个数组以形成一个比初始数组中的任何一个都大的输出数组。

这里，newaxis 索引运算符将一个新轴插入 a 中，使其成为一个二维 4x1 数组。将 4x1 数组与形状为 (3,) 的 b 组合，会产生一个 4x3 数组。

一个实际示例：矢量量化#

广播在现实世界的问题中经常出现。一个典型的例子出现在信息论、分类和其他相关领域中使用的矢量量化 (VQ) 算法中。VQ 中的基本操作是在一组点（在 VQ 行话中称为 codes）中找到最接近给定点（称为 observation）的点。在下面所示的非常简单的二维情况下，observation 中的值描述了要分类的运动员的体重和身高。 codes 代表不同类别的运动员。[1] 找到最接近的点需要计算观察值与每个代码之间的距离。最短距离提供最佳匹配。在此示例中，codes[0] 是最接近的类别，表明该运动员可能是篮球运动员。

>>> from numpy import array, argmin, sqrt, sum
>>> observation = array([111.0, 188.0])
>>> codes = array([[102.0, 203.0],
...                [132.0, 193.0],
...                [45.0, 155.0],
...                [57.0, 173.0]])
>>> diff = codes - observation    # the broadcast happens here
>>> dist = sqrt(sum(diff**2,axis=-1))
>>> argmin(dist)
0

在此示例中，observation 数组被拉伸以匹配 codes 数组的形状

Observation      (1d array):      2
Codes            (2d array):  4 x 2
Diff             (2d array):  4 x 2
A height versus weight graph that shows data of a female gymnast, marathon runner, basketball player, football lineman and the athlete to be classified. Shortest distance is found between the basketball player and the athlete to be classified.

图 5#

矢量量化的基本操作计算要分类的对象（黑色正方形）与多个已知代码（灰色圆圈）之间的距离。在这个简单的例子中，代码代表各个类别。更复杂的情况每个类别使用多个代码。

通常，大量 observations（可能从数据库中读取）与一组 codes 进行比较。考虑以下场景

Observation      (2d array):      10 x 3
Codes            (3d array):   5 x 1 x 3
Diff             (3d array):  5 x 10 x 3

三维数组 diff 是广播的结果，而不是计算的必要条件。大型数据集将生成一个大型中间数组，这在计算上效率低下。相反，如果使用 Python 循环围绕上面二维示例中的代码分别计算每个观察值，则将使用一个更小的数组。

广播是编写简短且通常直观的代码的强大工具，这些代码可以在 C 中非常有效地进行计算。但是，在某些情况下，广播会为特定算法使用不必要的大量内存。在这些情况下，最好在 Python 中编写算法的外循环。这还可以产生更易读的代码，因为随着广播中维度数量的增加，使用广播的算法往往变得更难以解释。

脚注

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