广播机制#

另请参见

numpy.broadcast

术语“广播”描述了 NumPy 在算术运算期间如何处理不同形状的数组。在满足某些约束条件的情况下，较小的数组会在较大的数组上“广播”，以便它们具有兼容的形状。广播提供了一种向量化数组运算的方法，以便在 C 而不是 Python 中进行循环。它无需进行不必要的的数据复制，通常可以实现高效的算法。但是，在某些情况下，广播是一个坏主意，因为它会导致内存使用效率低下，从而降低计算速度。

NumPy 运算通常基于逐元素的基础对成对的数组进行。在最简单的情况下，这两个数组必须具有完全相同的形状，如下例所示。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
>>> a * b
array([2.,  4.,  6.])

当数组的形状满足某些约束条件时，NumPy 的广播规则会放宽此约束。最简单的广播示例是当数组和标量值组合在一个运算中时。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([2.,  4.,  6.])

结果等效于之前的示例，其中b 是一个数组。我们可以认为标量b在算术运算期间被拉伸成一个与a形状相同的数组。b中的新元素，如图 1所示，只是原始标量的副本。拉伸比喻只是概念上的。NumPy 足够聪明，可以使用原始标量值而无需实际创建副本，以便广播操作尽可能高效地利用内存和计算资源。

A scalar is broadcast to match the shape of the 1-d array it is being multiplied to.

图 1#

在最简单的广播示例中，标量 b 被拉伸以成为与 a 形状相同的数组，以便形状对于逐元素乘法兼容。

第二个示例中的代码比第一个示例中的代码更高效，因为广播在乘法过程中移动的内存更少（b 是标量而不是数组）。

通用广播规则#

对两个数组进行运算时，NumPy 会逐元素比较它们的形状。它从尾随（即最右）维度开始，向左工作。当两个维度满足以下条件时，它们是兼容的：

  1. 它们相等，或者

  2. 其中之一为 1。

如果这些条件不满足，则会引发ValueError: operands could not be broadcast together 异常，表明数组的形状不兼容。

输入数组不需要具有相同数量的维度。生成的数组将与具有最大维度数量的输入数组具有相同数量的维度，其中每个维度的大小是输入数组中相应维度中的最大大小。请注意，缺少的维度假定大小为 1。

例如，如果您有一个256x256x3 的 RGB 值数组，并且想要按不同的值缩放图像中的每种颜色，您可以将图像乘以一个具有 3 个值的 1 维数组。根据广播规则对齐这些数组的尾随轴的大小，表明它们是兼容的。

Image  (3d array): 256 x 256 x 3
Scale  (1d array):             3
Result (3d array): 256 x 256 x 3

当比较的任何一个维度为一时，则使用另一个维度。换句话说，大小为 1 的维度会被拉伸或“复制”以匹配另一个维度。

在下面的示例中，A 和B 数组都具有长度为一的轴，这些轴在广播操作期间会扩展到更大的大小。

A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

可广播数组#

如果上述规则产生有效的结果，则一组数组称为“可广播”到相同的形状。

例如，如果a.shape 为 (5,1)，b.shape 为 (1,6)，c.shape 为 (6,)，d.shape 为 ()，因此 *d* 是标量，则 *a*、*b*、*c* 和 *d* 都可广播到维度 (5,6)；并且

  • *a* 像一个 (5,6) 数组，其中a[:,0] 广播到其他列，

  • *b* 像一个 (5,6) 数组，其中b[0,:] 广播到其他行，

  • *c* 像一个 (1,6) 数组，因此像一个 (5,6) 数组，其中c[:] 广播到每一行，最后，

  • *d* 像一个 (5,6) 数组，其中单个值被重复。

以下是一些更多示例。

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      1
Result (2d array):  5 x 4

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      4
Result (2d array):  5 x 4

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (3d array):  15 x 1 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 1
Result (3d array):  15 x 3 x 5

以下是不广播形状的示例。

A      (1d array):  3
B      (1d array):  4 # trailing dimensions do not match

A      (2d array):      2 x 1
B      (3d array):  8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched

将一维数组添加到二维数组时的广播示例。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([[ 0.0,  0.0,  0.0],
...               [10.0, 10.0, 10.0],
...               [20.0, 20.0, 20.0],
...               [30.0, 30.0, 30.0]])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a + b
array([[  1.,   2.,   3.],
        [11.,  12.,  13.],
        [21.,  22.,  23.],
        [31.,  32.,  33.]])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
>>> a + b
Traceback (most recent call last):
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (4,)

如图 2所示，b 被添加到a 的每一行。在图 3中，由于形状不兼容，会引发异常。

A 1-d array with shape (3) is stretched to match the 2-d array of shape (4, 3) it is being added to, and the result is a 2-d array of shape (4, 3).

图 2#

如果一维数组的元素数量与二维数组的列数匹配，则将一维数组添加到二维数组将导致广播。

A huge cross over the 2-d array of shape (4, 3) and the 1-d array of shape (4) shows that they can not be broadcast due to mismatch of shapes and thus produce no result.

图 3#

当数组的尾随维度不相等时，广播失败，因为无法对齐第一个数组的行中的值与第二个数组的元素进行逐元素相加。

广播提供了一种方便的方法来获取两个数组的外积（或任何其他外部运算）。以下示例显示了两个一维数组的外部加法运算。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[ 1.,   2.,   3.],
       [11.,  12.,  13.],
       [21.,  22.,  23.],
       [31.,  32.,  33.]])
A 2-d array of shape (4, 1) and a 1-d array of shape (3) are stretched to match their shapes and produce a resultant array of shape (4, 3).

图 4#

在某些情况下，广播会拉伸两个数组以形成一个比任何初始数组都大的输出数组。

这里，newaxis 索引运算符将一个新轴插入a 中，使其成为一个二维4x1 数组。将4x1 数组与形状为(3,) 的b 组合，将产生一个4x3 数组。

一个实际示例：矢量量化#

广播在实际问题中经常出现。一个典型的例子发生在信息论、分类和其他相关领域中使用的矢量量化 (VQ) 算法中。VQ 中的基本操作是在一组点（在 VQ 行话中称为codes）中找到最接近给定点（称为observation）的点。在下面所示的非常简单的二维情况下，observation 中的值描述了要分类的运动员的体重和身高。codes 代表不同类别的运动员。[1] 找到最接近的点需要计算观察值和每个代码之间的距离。最短距离提供最佳匹配。在此示例中，codes[0] 是最接近的类别，表明该运动员很可能是篮球运动员。

>>> from numpy import array, argmin, sqrt, sum
>>> observation = array([111.0, 188.0])
>>> codes = array([[102.0, 203.0],
...                [132.0, 193.0],
...                [45.0, 155.0],
...                [57.0, 173.0]])
>>> diff = codes - observation    # the broadcast happens here
>>> dist = sqrt(sum(diff**2,axis=-1))
>>> argmin(dist)
0

在此示例中，observation 数组被拉伸以匹配codes 数组的形状。

Observation      (1d array):      2
Codes            (2d array):  4 x 2
Diff             (2d array):  4 x 2
A height versus weight graph that shows data of a female gymnast, marathon runner, basketball player, football lineman and the athlete to be classified. Shortest distance is found between the basketball player and the athlete to be classified.

图 5#

矢量量化的基本操作计算要分类的对象（黑色正方形）与多个已知代码（灰色圆圈）之间的距离。在这个简单的例子中，代码代表各个类别。更复杂的情况每个类别使用多个代码。

通常情况下，大量的observations（例如从数据库读取的数据）会与一组codes进行比较。考虑以下场景：

Observation      (2d array):      10 x 3
Codes            (3d array):   5 x 1 x 3
Diff             (3d array):  5 x 10 x 3

三维数组diff是广播的结果，并非计算的必要条件。大型数据集会生成一个大型中间数组，这在计算上效率低下。相反，如果使用Python循环对上述二维示例中的代码对每个观测值进行单独计算，则可以使用更小的数组。

广播是编写简洁且通常直观代码的强大工具，它能够在C语言中非常高效地进行计算。但是，在某些情况下，广播会为特定算法使用不必要的大量内存。在这些情况下，最好用Python编写算法的外循环。这也可以产生更易读的代码，因为随着广播中维度数量的增加，使用广播的算法往往更难以理解。

脚注